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Estudio del psicoanálisis y psicología

ANÁLISIS DE DATOS EN PSICOLOGÍA (primera parte)



1. CONCEPTOS GENERALES

1.1 Introducción

La estadística actual no sólo es un conjunto de técnicas para resumir y transmitir información cuantitativa, sino que sirve también, y fundamentalmente, para hacer inferencias, generalizaciones y extrapolaciones de un conjunto relativamente pequeño de datos a un conjunto mayor. Estadística es la ciencia que se ocupa de la ordenación y análisis de datos procedentes de muestras, y de la realización de inferencias acerca de las poblaciones de las que éstas proceden.

1.2 Conceptos generales: Se llama población estadística al conjunto de todos los elementos que cumplen una o varias características o propiedades. Una muestra es un subconjunto de los elementos de una población. Un parámetro es una propiedad descriptiva de una población. Un estadístico es una propiedad descriptiva de una muestra. Una característica es una propiedad o cualidad de un individuo. Una modalidad es cada una de las maneras como se presenta una característica.

1.3 Medición: La estadística no realiza sus funciones directamente sobre las modalidades observadas, sino que éstas se representan por números, y la estadística realiza sus funciones sobre esos números. Se llama medición al proceso de atribuir números a las características. La asignación de números a las características se hace siguiendo unas reglas, del estudio de los modelos mediante los cuales conocemos las reglas para una correcta atribución de los números se ocupa la Teoría de la Medida. A partir de una característica se puede establecer un sistema relacional empírico (empírico, porque se refiere a entidades y relaciones reales). El sistema numérico está formado por un conjunto de entidades (números) y unas relaciones entre ellos. Se trata de un sistema relacional numérico. El objetivo de la medición de una característica es conectar un sistema relacional empírico y un sistema relacional numérico, de tal forma que las relaciones entre las entidades se reflejen en las relaciones entre los números que los simbolizan. Sólo si se consigue este objetivo ocurrirá que de las relaciones entre los números podrán hacerse inferencias válidas acerca de las relaciones entre las entidades. La medición estudia las condiciones de construcción de representaciones numéricas, y los modelos desarrollados para la medición se llaman escalas. Tenemos las escalas nominales, ordinales, cuantitativas de intervalo y cuantitativas de razón. Escalas nominales: la clave de estas escalas de medida es que sólo informan de la igualdad o desigualdad de los individuos en una característica, pero no de posibles ordenaciones, puesto que la característica a la que se refieren no se tiene en mayor o menor medida, sino que simplemente adopta formas cualitativamente distintas. Un concepto íntimamente ligado al concepto de escala, y que de hecho las caracteriza, es el de transformación admisible, que hace referencia al problema de la unicidad de la medida. La cuestión de la unicidad puede plantearse de la siguiente forma: ¿es la representación numérica que hemos construido la única posible? En general la respuesta será negativa. Se dice que una transformación de los números asignados en una escala es una transformación admisible si preserva las características que definen a esa escala, es decir, si los números transformados también representan al sistema empírico. Esta transformación de los valores originales es una transformación admisible porque los valores obtenidos mediante su aplicación siguen cumpliendo las condiciones especificadas anteriormente para toda escala nominal. En términos más técnicos diríamos que en una escala nominal son admisibles todas las transformaciones que supongan aplicaciones inyectivas. La aplicación de una regla de asignación de números a las diferentes cantidades de tal forma que los números asignados a los objetos reflejen esos distintos grados en los que se presenta la característica. Los números asignados nos permitirán extraer conclusiones acerca de las magnitudes. A veces lo único que esos números nos permiten inferir son relaciones de tipo mayor que o menor que A aquellas escalas de medida que cumplen estas características se les llama escalas ordinales. También se dice que se está haciendo una medición a nivel ordinal. Los objetos pueden ordenarse, y de ahí el nombre de la escala. En psicología son muchas las características cuya medición se considera que está a nivel ordinal, pues son muchos los casos en los que lo único que puede decirse es que un individuo es más extravertido que otro, que un niño es más hiperactivo que otro, o que el aprendizaje es más rápido con el método A que con el método B. Apliquemos de nuevo el concepto de transformación admisible a este tipo de escalas. No todas las transformaciones que eran admisibles en las escalas nominales lo son para las escalas ordinales. Al igual que en las escalas nominales, las ordinales tienen unas transformaciones admisibles, que lógicamente serán todas aquellas que preserven las características de la escala ordinal. Se puede demostrar que esto ocurre con todas aquellas transformaciones que cumplan la condición de ser transformaciones crecientes. Se dice que la transformación es creciente si para todo par de objetos a y b se cumple la siguiente condición: Si n (a) n (b), entonces n (a) n(b) La limitación de las escalas ordinales es que aunque nos informa de que un objeto presenta la característica en cuestión en una mayor magnitud que otro objeto, no nos dice en cuánto más. Para poder extraer conclusiones más precisas, como la de en cuánto más presenta la característica un objeto sobre otro, hay que contar con una unidad de medida, y para ello hay que pasar al siguiente tipo de escala. Escala de intervalo, la tercera condición añadida a las exigidas para una escala ordinal impone que el número asignado al objeto y que representamos por n(oi), sea una función lineal de la magnitud real que ese objeto representa en la característica en cuestión. Cuenta con una unidad de medida, si se cumple esta tercera condición podemos extraer consecuencias acerca de la igualdad o desigualdad de diferencias. Si la diferencia entre los números asignados a dos objetos es igual a la diferencia entre los números asignados a otros dos, también son iguales las diferencias en magnitudes entre estos dos pares. Una mayor diferencia entre los números asignados implica una mayor diferencia entre las magnitudes representadas. El ejemplo clásico de este tipo de escalas es el de las temperaturas. Las transformaciones admisibles para las escalas de intervalo no significan más que un cambio en la unidad de medida y en el origen asignado a la escala, valores ambos arbitrarios en este tipo de escalas. La principal limitación de este tipo de escalas es que no tiene un cero absoluto. El número cero no representa realmente la ausencia de esta característica. Las escalas de razón Esta tercera condición cumple la función de preservar el significado del valor cero, de forma que siempre representa la ausencia de esa característica. La consecuencia fundamental de la presencia de un origen absoluto, y no arbitrario, es que además de poder extraer conclusiones acerca de la igualdad o desigualdad de diferencias, también puede hablarse de la igualdad o desigualdad de razones. NOMINAL El sexo de los individuos se clasifica simbolizando con un 0 hembra y con un 1 varón. Posteriormente se hace una transformación admisible, 0 ® 5 y 1 ® 3. ORDINAL La dureza de los elementos se ordena, asignándoles números que representen esa ordenación. Posteriormente se hace una transformación admisible, es decir, una que respeta esa ordenación. INTERVALO Las cantidades de calor, pueden representarse por distintos conjuntos de números, en tanto en cuanto en ellos se mantenga la diferencia de temperatura entre los objetos 1 y 2 sea la misma que la diferencia entre los objetos 3 y 4, y ambas sean mayores que la diferencia entre los objetos 2 y 3. Estas condiciones las cumplen tanto la escala centígrada como la escala Fahrenheit. Además, de cualquiera de ellas puede pasarse a la otra, pues cada una es una transformación admisible para la otra. Cada una tiene su propia unidad de medida y su origen propio. RAZÓN Las longitudes, pueden representarse también por distintos conjuntos de números, en tanto en cuanto en ellos se mantenga que le objeto 2 tenga el doble que le objeto 1, y que el cociente entre los números asignados a los objetos 3 y 1 sea mayor que el cociente entre los números asignados a los objetos 2 y 1. Estas condiciones se cumplen tanto al medir en metros como al medir en yardas. Se puede pasar de una a otra, son transformaciones mutuamente admisibles, ya que aunque cada una tiene su unidad de medida, ambas respetan el cero absoluto, que coincide con las dos, y representa la ausencia de esta característica. Tipo Información deducible Transform. admisibles Ejemplos Nominal Relaciones igual que o distinto que Aplicaciones inyectivas Sexo, estado civil, diagnóstico clínico. Ordinal Relaciones mayor que o igual que Funciones crecientes Dureza, nivel socioeconómico, grado de asertividad Intervalo Igualdad o desigualdad de diferencias A + b . x (b ¹ 0) Temperatura, calendario, inteligencia. Razón Igualdad o desigualdad de razones B . x (b ¹ 0) Longitud, peso.

1.3.1 Las variables: clasificación y notación Una variable es una representación numérica de una característica. Ejemplo Tipo de estudio Variables Tipo de escala 1 Descriptivo Grado de patrón A Intervalo 2 Inferencial Grupo, Nivel cultural, Inteligencia, estrés. Nominal, Ordinal, Intervalo, Intervalo 3 Inferencial Tiempo de reacción Razón 4 Inferencial Intención de voto Nominal Estadística descriptiva con una variable

2. ORGANIZACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE DATOS

2.2 Distribución de frecuencias: La distribución de frecuencias es un instrumento diseñado para cumplir tres funciones: Proporcionar una reorganización y ordenación racional de los datos recogidos. Ofrecer la información necesaria para hacer representaciones gráficas Facilitar los cálculos necesarios para obtener los estadísticos muestrales Se llama frecuencia absoluta de un valor Xi, y se simboliza por ni, al número de veces que se repite el valor Xi, en la muestra. Se llama frecuencia relativa de un valor Xi, y se simboliza por pi, al cociente entre la frecuencia absoluta de ese valor y el tamaño de la muestra. Es decir: pi = ni / n Se llama frecuencia absoluta acumulada de un valor Xi, y se simboliza por na, al número de veces que se repite en la muestra ese valor Xi, o cualquier otro valor inferior. Se llama frecuencia relativa acumulada de un valor Xi, y se simboliza por pa, al cociente entre su frecuencia absoluta acumulada y el tamaño de la muestra. Es decir: pa = na / n. Las frecuencias relativas, se expresan en términos porcentuales. Suelen representarse con mayúsculas, para obtenerlas basta con multiplicar por 100 las frecuencias relativas. Para cualquier valor de la variable, Xi tenemos que: Pi = pi 100 y Pa = pa 100 Una distribución de frecuencias se organiza en forma de tabla. En una distribución de frecuencias completa aparece, una columna con los valores que adopta la variable, creciendo de abajo hacia arriba. Construimos la distribución de frecuencias siguiendo los pasos descritos: 1. Ponemos en la primera columna esos valores, creciendo de abajo hacia arriba 2. Para la columna de frecuencias absolutas contamos el número de veces que se repite cada valor, si el número de valores es muy grande conviene ir haciendo marcas por cada valor, para contarlas al final 3. Para la columna de frecuencias relativas dividimos cada frecuencia absoluta por n 4. Para obtener las frecuencias absolutas acumuladas sumamos para cada valor su frecuencia absoluta más la absoluta acumulada del valor anterior. 5. Para las frecuencias relativas acumuladas dividimos cada frecuencia absoluta acumulada por n. La frecuencia relativa acumulada del valor mayor debe ser igual a 1. Distribución de frecuencias construida sobre el ejemplo del número de hijos (texto) Xi ni pi na pa 4 1 0.05 20 1.00 3 3 0.15 19 0.95 2 7 0.35 16 0.80 1 6 0.30 9 0.45 0 3 0.15 3 0.15 20 1.00 Agrupación en intervalos: consisten en formar grupos de valores consecutivos, llamados intervalos, y poner uno de estos grupos en cada fila, en lugar de poner cada valor individual por separado. Cada uno de estos grupos suele indicarse en la distribución de frecuencias poniendo los valores mayor y menos incluidos en él. A continuación se calculan las frecuencias absolutas conjuntas de los valores incluidos en el intervalo, haciendo lo mismo después con las frecuencias relativas, las absolutas acumuladas y las relativas acumuladas. Se llama intervalo a cada uno de los grupos de valores que ocupan una fila en una distribución de frecuencias. En algunos textos se llaman clases. Se llaman límites aparentes o informados de un intervalo a los valores mayor y menor que puede adoptar la variable dentro de ese intervalo, según el instrumento de medida utilizado. Se llaman límites exactos de un intervalo a los valores máximo y mínimo incluidos en el intervalo y que podrían medirse si se contara con un instrumento de precisión perfecta. Se llama punto medio de un intervalo a la suma de sus límites exactos partido por dos. En algunos libros se llama marca de clase. Se llama amplitud de un intervalo a la diferencia entre su límite exacto superior y su límite exacto inferior. Suele representarse por la letra I. Para hacer una distribución de frecuencias: 1. El intervalo superior debe incluir al mayor valor observado. 2. el intervalo inferior debe incluir al menor valor observado. 3. Cada intervalo debe incluir el mismo número de valores. Dado que el objetivo de una distribución de frecuencias es conseguir una ordenación manejable que ayude a comprender el significado de los datos, no es conveniente que el número de intervalos sea demasiado grande. Como consecuencia de lo anterior, podemos sentirnos inclinados a reducir al máximo el número de intervalos, pero lo cierto es que esto traería consigo una consecuencia negativa, los intervalos tendrían una excesiva amplitud y acabaríamos teniendo a sujetos con puntuaciones muy distintas en el mismo intervalo. El número apropiado de intervalos debe ser tal que, con ella se consiga una agrupación operativa y que cumpla los objetivos para los que ha sido diseñada la distribución de frecuencias, pero sin distorsionar excesivamente los valores con el error de agrupamiento. A veces hay casos en los que hacer un número de intervalos siguiendo las directrices que acabamos de plantear distorsionarían demasiado los datos. Para evitar eso se utilizan lo que se denomina intervalos abiertos, en los cuales no se pone el límite inferior del intervalo que incluye los valores menores, el límite superior del intervalo que incluye los valores mayores o no se pone ninguno de estos dos. Ej. + de .... Problema de los bordes Supongamos que vamos a construir una agrupación en intervalos, siendo los valores mayor y menor observados iguales a 79 y 43, respectivamente. Como el número de valores distintos sería igual a 37, que es un número primo, no pueden hacerse intervalos de amplitud constante tales que el mayor tenga al 79 como límite aparente superior y al 43 como límite aparente inferior. En estos casos suele añadirse al listado de valores distintos observados algunos otros valores no observados en la muestra. Estos valores tendrán frecuencias absolutas iguales a cero, pero nos permitirán conseguir un número de valores distinto que sea múltiplo del número de intervalos que queremos hacer. Para no distorsionar demasiado ninguno de los intervalos extremos es preferible repartirlos lo más homogéneamente posible entre los dos. 2.2.1 Supuestos de distribución intraintervalo Una vez confeccionada una distribución de frecuencias con datos agrupados en intervalos, ésta se puede utilizar para hacer representaciones gráficas y para facilitar los cálculos de estadísticos que iremos explicando. Dado que de cada puntuación sólo sabemos el intervalo al que pertenece, un procedimiento que a veces resultará útil consiste en asumir el supuesto de concentración en el punto medio. Según este supuesto, trataríamos a esos dos datos como si fueran dos valores iguales. Entonces este es el punto medio de su intervalo. El supuesto de distribución homogénea, los valores incluidos en un intervalo se reparte con absoluta conformidad en su interior, si en un intervalo hay cinco observaciones, aceptaremos que sus valores son los que tendríamos si partiéramos al intervalo en cinco subintervalos de igual amplitud y asignáramos a cada individuo el punto medio de un subintervalo. 2.3 Representaciones gráficas A partir de las distribuciones de frecuencias se pueden construir representaciones gráficas. La función de éstas es dar informaciones globales mediante un solo golpe de vista. 2.3.1 Representaciones gráficas de uso frecuente Diagrama de rectángulos: Para hacer un diagrama de rectángulos se colocan en el eje de abscisas las modalidades (o los números que las representan) y en el eje de ordenadas las frecuencias. Sobre cada modalidad se levanta un rectángulo cuya altura es la frecuencia correspondiente. Este tipo de representaciones se suele utilizar para variables nominales, pero también se utiliza para variables ordinales, como el nivel cultural. Perfil ortogonal: Se utiliza mucho en informes psicopedagógicos o de rendimiento. Calificaciones obtenidas por un alumno a lo largo de 4 exámenes. Pictograma: Son representaciones en forma de círculos en las que éstos son divididos en secciones cuya superficie es proporcional a la frecuencia de la modalidad correspondiente. Diagrama de barras: Se utiliza para variables cuantitativas discretas. En el eje de abscisas se colocan los distintos valores de la variable y en el eje de ordenadas las frecuencias. Sobre cada valor de la variable se traza una línea o barra perpendicular cuya altura debe ser igual a la frecuencia. Histograma: Se utiliza para variables cuantitativas continuas con datos agrupados en intervalos. En el eje de abscisas se colocan los límites exactos de los intervalos, y en el eje de ordenadas las frecuencias. Polígono de frecuencias: Para variables discretas, el polígono de frecuencias es la figura que resulta de unir los extremos superiores de las que hubieran sido las barras. Si se trata de las bases superiores de los rectángulos correspondientes a un hipotético histograma construido con esos mismos datos. Diagrama de barras acumulativo: Se utiliza en variables discretas. En el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y en el de ordenadas las frecuencias acumuladas, ya sean absolutas o relativas. Sobre cada valor se traza una perpendicular cuya longitud sea igual a la frecuencia acumulada. Desde el extremo superior de cada una de estas barras se traza una línea horizontal que se une con la barra situada a su derecha. Polígono de frecuencias acumuladas: Se utilizan en variables continuas. El eje de abscisas se construye igual que en los histogramas, pero en el de ordenadas se incluyen las frecuencias acumuladas, ya sean absolutas o relativas. Sobre cada límite se levanta una perpendicular cuya longitud sea idéntica a la frecuencia acumulada y se unen los extremos superiores de dichas perpendiculares. 2.3.2 Convenciones sobre las representaciones gráficas 1. En el eje de abscisas colocamos los valores de la variable, y en el de ordenadas las frecuencias (absolutas o relativas, simples o acumuladas). 2. La intersección de los dos ejes es el origen , de modo que en el eje de abscisas las puntuaciones más bajas estarán a la izquierda, y las más altas a la derecha; en el de ordenadas los valores los valores pequeños estarán abajo y los altos arriba. 3. Si el valor mínimo del eje de abscisas fuera excesivamente grande, se debe cortar la línea 4. Conviene incluir en cada gráfico toda la información posible para evitar ambigüedades y facilitar su interpretación por otras personas o por nosotros mismos al cabo del tiempo. 5. Cuando un mismo gráfico se representan dos o más grupos simultáneamente y éstos son de tamaños considerablemente distintos se deben utilizar frecuencias relativas. Las representaciones sirven para comunicar información de un solo golpe de vista, y por ello en su construcción debe tenerse en cuenta el público al que va dirigida, sus necesidades de informaciones más bien globales y generales o específicas y precisas, y cualquier otra consideración que pueda mejorar la transmisión de información ágil y precisa. 2.3.3 Tendenciosidad en las representaciones gráficas Un primer método consiste en recortar el eje de ordenadas, eliminando los menores valores de frecuencias con la excusa de que no hay ninguna observación que las adopte. Esto tiene como consecuencia que pequeñas diferencias parezcan mayores. Un segundo tipo de distorsión se produce cuando se utilizan figuras representativas de aquello que se está midiendo. Suelen hacerse proporcionando sus alturas a las frecuencias correspondientes, el incremento en la altura conlleva también un incremento en la anchura. Como consecuencia de ello, la superficie de las figuras no guarda relación con las frecuencias observadas, dando la impresión de que la diferencia es mayor que la realmente registrada. 2.3.4 Propiedades de las distribuciones de frecuencias Los polígonos de frecuencias dependen demasiado de la unidad de medida utilizada, de la agrupación en intervalos hecha y de las fluctuaciones particulares esperables en una muestra concreta. Las curvas suavizadas suelen ser representaciones más apropiadas que los polígonos de frecuencias simples. Son cuatro las propiedades con las que describiremos las distribuciones de frecuencias: 1. Tendencia central: Una primera propiedad es la que se refiere a la magnitud general de las observaciones hechas. Esta magnitud general puede cuantificarse mediante unos índices conocidos como índices de tendencia central o promedios, y que reciben ese nombre porque pretenden ser síntesis de los valores de la variable. 2. Variabilidad: Grado de concentración de las observaciones en torno al promedio. Una distribución de frecuencias será homogéneo o poco variable si los datos difieren poco entre sí, y por tanto, se agolpan en torno a su promedio. Sería heterogénea o muy variable si los datos se dispersan mucho con respecto al promedio. 3. Asimetría o sesgo: Esta propiedad se refiere al grado en que los datos tienden a concentrarse en los valores centrales, en los valores inferiores al promedio, o en los valores supriores a éste. Existe simetría perfecta cuando en caso de doblar la representación gráfica por una vertical trazada sobre la media, las dos mitades se superponen perfectamente. Las distribuciones con asimetría negativa son propias de las pruebas, tareas o tests fáciles, en las que la mayoría de los sujetos puntúan alto. Las distribuciones asimétricas positivas son típicas de pruebas, tareas o tests difíciles en las que la mayoría de los sujetos puntúan bajo. 4. Curtosi: Se refiere al grado de apuntamiento de la distribución de frecuencias. Si es muy apuntada se llama leptocúrtica y si es muy aplastada, se llama platicúrtica. 2.4 Diagrama de tallo y hojas Las distribuciones de frecuencias no son el único medio para resumir y exponer conjuntos de datos; una alternativa a ellas son los llamados diagramas de tallo y hojas. Su obtención requiere separar cada puntuación en dos partes. El primer o primeros dígitos, que reciben el nombre de tallo, y el dígito o dígitos restantes, que reciben el nombre de hojas; por ejemplo, X = 56 se puede separar en 5 (tallo) y 6 hoja. Estos diagramas tienen la suficiente flexibilidad como para admitir otras posibilidades. 1. Se identifican los valores máximo y mínimo observados. 2. Se toma una decisión acerca del número más apropiado de tallos distintos. 3. Se listan todos los tallos distintos en una columna, ordenados de forma creciente de arriba abajo. 4. Se escribe cada hoja junto al tallo que le corresponda, preferiblemente ordenados según su valor. En general, un número de tallos superior a cinco y que no pase de 20 suele ser apropiado. Aparte de ser más fácil de construir, el diagrama de tallo y hojas tiene varias ventajas sobre la distribución de frecuencias, y también algún inconveniente: 1. Ventaja: permite identificar cada puntuación individual. En las distribuciones tradicionales sólo conocemos la frecuencia del intervalo y nos obliga a tratar los datos de ciertas maneras distorsionantes. La ventaja de retener cada valor individual viene acompañada del inconveniente de que le diagrama de tallo y hojas no facilita, como la distribución de frecuencias clásica, el cálculo de los estadísticos que estudiaremos más adelante. 2. Ofrece simultáneamente tanto un listado de las puntuaciones como un dibujo de distribución, si tumbamos el diagrama obtenemos una especie de histograma. 3. Al contener los valores de cada observación, es más fácil de modificar para obtener un dibujo con un nivel de detalle distinto, mayor o menor, de la distribución. 4. Pueden presentarse dos conjuntos de datos simultáneamente en el mismo diagrama, con lo que se facilita la comparación.

3. MEDIDAS DE POSICIÓN

3.2 Centiles o percentiles Son 99 valores de la variable que dividen a la distribución en 100 secciones, cada una conteniendo a la centésima parte de las observaciones. Se pueden representar por la inicial de cada uno de los dos términos que los designan más el subíndice correspondiente, Ck o Pk (k = 1,2,...99). Se simboliza por C28 a aquella puntuación que deja por debajo de sí al 28 por 100 de las observaciones y que es superada por el 72 por 100. Aunque por definición son sólo 99 valores, por extensión a veces se utilizan posiciones intermedias, como, por ejemplo, el centil 88,5 o C88,5, que sería aquel valor de la variable por debajo del cual se encuentra el 88,5 por 100 de las observaciones. Dado que los valores correspondientes a los centiles se determinan en función de los porcentajes de observaciones, normalmente las distancias entre ellos, en términos de puntuación, no serán constantes.

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