La concepción del aprendizaje apoyada en el desarrollo de los conocimientos en términos de obstáculos difiere de la concepción clásica en lo concerniente al rol y organización de los problemas. El problema va a jugar en el proceso un rol fundamental.
• Plantear el problema consiste en encontrar una situación en la que el alumno emprenderá una sucesión de intercambios relativos a una cuestión que constituye un obstáculo para él, el cual tomará como apoyo para apropiarse o construir un conocimiento nuevo.
• Las condiciones en que se desarrolla esta situación-problema son inicialmente escogidas por el que enseña.
• El proceso debe pasar rápidamente por el control de quien va a participar a su vez en la situación. La motivación nace de esta inversión y se conserva con ella.
• El estudiante deberá establecer la validez de una afirmación, por lo que el maestro debe dirigirse al alumno como un sujeto capaz de aceptar o rehusar sus afirmaciones, exponer pruebas de lo que anticipa, de oponerle otras afirmaciones. Estos intercambios entre maestro y alumno permiten explicitar teorías matemáticas. Se trata menos de aprender las pruebas aceptadas que de poner a prueba aquéllas que uno concibe. Un proceso de prueba se construye en una dialéctica de la validación que conduce al alumno a usar espontáneamente retórica, es decir, defender con argumentos aquello de lo que no está tan seguro y, enseguida renunciar a ellos.
A lo largo de este apartado se han esbozado de forma muy breve y sencilla las aproximaciones teóricas que fundamentan a la Ingeniería Didáctica como una metodología constructivista que intenta, desde el aula, captar la complejidad de la clase.
En cuanto a los campos conceptuales, igualmente se aceptó en el transcurso de los procesos anteriores, la influencia de más de una alternativa en las formas de dar solución a la situación-problema enfrentada por los alumnos, a fin de que lograran, en consecuencia, el conocimiento esperado.
Se abordó la comunicación de un saber a un público (los estudiantes), proceso que supone la transformación de un saber en un conocimiento a enseñar y después en un objeto de enseñanza, en donde quedó contemplada la transposición didáctica.
Así mismo, se esbozó la forma en que se deben crear y desarrollar las situaciones didácticas a fin de que el alumno construya un conocimiento nuevo a partir de la superación de sus obstáculos, cuestión que alude a las situaciones didácticas.
En este contexto teórico “los problemas” serán considerados no como un medio para dificultar el aprendizaje en los estudiantes, sino como la mejor alternativa para ayudarlos a superar sus obstáculos y provocarlo, de ahí que se sugiere una nueva forma de plantearlos.
De esta manera, los problemas y el surgimiento de los obstáculos personales de los estudiantes ante un saber son medulares en la Ingeniería Didáctica, la cual como se mencionó anteriormente, es la metodología específica que surge de la teorización de las situaciones didácticas.
En esta teoría el papel del profesor consiste principalmente en:
• Organizar la situación didáctica de modo que el conocimiento sea planteado como un objeto de enseñanza de forma tal que pueda ser adquirido, bajo su dirección, en el proceso de aprendizaje,
• Permitir a los estudiantes aceptar la responsabilidad de resolver el problema propuesto, en un modo de funcionamiento adidáctico, manteniéndolo por medio de un proceso de confrontación y argumentación.
• Unir las adquisiciones desarrolladas durante el proceso de solución al conocimiento institucional a través de una fase de institucionalización.
Actividades del profesor que ciertamente son muy distintas a las que en general desarrollan dentro del sistema tradicional, sin embargo, desde la perspectiva de la Ingeniería Didáctica, esbozan ya los pasos para la aplicación o experimentación de una secuencia didáctica.
Cabe aclarar que tales situaciones, aunque fundamentales para el aprendizaje, pueden raramente corresponder a la enseñanza global en un campo dado bajo condiciones estándar, incluso cuando tal funcionamiento pudiera ser teóricamente posible.
Con relación al cálculo, A la par de las dificultades en la enseñanza, también se presentan las propias del aprendizaje, mismas que son de diversa índole, aunque se sobreponen y refuerzan mutuamente. Existen tres grandes tipos:
a) Dificultad por la complejidad de los objetos básicos del cálculo (números reales y funciones) y su plena conceptualización.
Cuando se inicia la enseñanza del cálculo, los números reales y las funciones no son conceptos que los estudiantes desconocen del todo. Estos son objetos en "construcción" que no se pueden considerar "inertes" a medida que se efectúa el aprendizaje del cálculo. El aprendizaje de éste será motor para llegar a su plena conceptualización.
Los números reales: para los estudiantes resultan poco claras las relaciones existentes entre los diferentes conjuntos de números. Esto es, si para los estudiantes R comprende categorías distintas de números (enteros, fracciones, decimales, radicales y otros como Pi), todos estos tienden a confundirse en la asociación entre sí.
Las funciones: se han detectado dificultades con la identificación de lo que en verdad es una función. Varias investigaciones se han centrado en este aspecto: las primeras desde un enfoque conjuntista demostraron la existencia de una brecha entre la concepción de los estudiantes respecto a éstas y los criterios para la identificación de objetos funcionales y su clasificación como tales. Estos últimos partían de concebir a la función en torno a los prototipos de funciones comunes encontrados, de su asociación y fórmula, ignorándose su definición, de donde conducían a rechazar funciones y a admitir objetos no funcionales, además de carecerse de una coherencia global, pues los criterios dependían del registro de representación utilizado. A pesar de la evolución de la enseñanza y la desaparición de las definiciones conjuntistas poco se logró modificar tales criterios.
b) Dificultades asociadas con la conceptualización de la noción de límite.
En las investigaciones sobre la enseñanza del cálculo, el límite tiene un lugar esencial, dada la posición central del concepto en este campo. En particular, la noción de límite interviene en la noción de convergencia de series. Se ha buscado conciliar una aproximación cognitiva e histórica, y con base en la noción de obstáculo epistemológico (introducida por G. Bachelard, 1938), se ha indagado también sobre el desarrollo histórico de la noción de límite y sobre los candidatos a obstáculos, susceptibles de explicar las dificultades que en particular pueden encontrar los estudiantes.
El obstáculo epistemológico no se refiere a las dificultades desorganizadas o derivadas de la ausencia del conocimiento, sino a las dificultades directamente vinculadas con las formas de considerar el conocimiento o con los conocimientos mismos, por lo tanto es válido suponer que el conocimiento científico no es el resultado de un proceso continuo, por el contrario, requiere de algunos momentos de ruptura con los conocimientos anteriores.
Un obstáculo epistemológico que aparece en este dominio es el sentido común, mismo que favorece la concepción del límite como una barrera indispensable, una marca o el último término de un proceso, y al mismo tiempo tiende a reforzar en los estudiantes concepciones monótonas estrictas (que siempre crecen o bien siempre decrecen) de la convergencia.
Muchas investigaciones han evidenciado, al solicitarles a los estudiantes la comparación entre los números 0.9999…. y 1, que perciben la notación 0.9999… como algo diferente a un proceso infinito que no se detiene jamás y que, por tanto, nunca llega al valor de 1. Por otra parte, se les cuestiona sobre si se puede calcular la suma 9/10+9/100 + …, y si se puede hacer, qué valor tiene. En este caso, la pregunta evoca directamente al estudiante la serie geométrica y, también, algunas actividades, como la fórmula de la suma o el algoritmo que permite calcularla. Tanto en la visión que tiene el estudiante, como en la solución que él hace del problema, el proceso del límite en sí está relegado a último plano.
Existe un salto cualitativo mayor, que se verifica en la historia misma del concepto, entre el manejo relativamente intuitivo de la noción de límite y la noción formalizada estándar. El concepto formalizado aparece como un concepto hecho para "demostrar", lo cual rompe parcialmente con las formas de conocimientos anteriores (Lakatos 1976) y se convierte, de hecho, en una gran dificultad para el estudiante.
c) Dificultades asociadas a la ruptura álgebra/cálculo.
El cálculo es un dominio donde la actividad matemática se apoya en gran medida en las competencias algebraicas, donde se necesita de una ruptura con una cierta cantidad de prácticas algebraicas para acceder a él, temática que en realidad se ha trabajado muy poco.
Dentro del campo algebraico, los estudiantes están acostumbrados a razonar en lo posible por equivalencia. Entrar en el campo del cálculo significa comprender que este manejo con frecuencia no se va a realizar.
Todo esto no tiene por qué ser natural. La ideología tradicional de la enseñanza no ayuda a los estudiantes a tomar conciencia de estos cambios pues lo conduce a minimizar las rupturas y a mantener la ficción de un aprendizaje progresivo y continuo.
De igual forma, esto es difícil porque los modos de razonamiento que subyacen a este trabajo son nuevos para los estudiantes y porque las técnicas matemáticas de trabajo son delicadas. Se pasa de razonamientos por equivalencias sucesivas a razonamientos por condiciones suficientes.