Las puntuaciones directas nos ofrecen muy poca información. De hecho, conocida un puntuación directa no sabemos si se trata de un valor alto o bajo, ya que esto depende del promedio de su grupo. A continuación, presentamos un tipo de puntuaciones que resuelven este problema. Puntuaciones diferenciales o de desviación Las puntuaciones directas deben ponerse en relación con el grupo. Una primera relación vendría representada por la puntuación diferencia, de desviación o e diferencia, que representamos por x (minúscula) y definida como la resta de la media de la distribución a la puntuación directa. _ x = X – X Estas puntuaciones presentan las siguientes propiedades: 1. Su media es cero. 2. La varianza de las puntuaciones diferenciales es igual a la varianza de las puntuaciones directas. Al restar a las puntuaciones directas su media hemos obtenido una nueva escala con media 0 y con idéntica varianza a las puntuaciones directas. Estas dos propiedades pueden también demostrarse aplicando las propiedades, ya vistas, de una transformación lineal. En este caso, la pendiente vale 1 y la ordenada en el origen es la media ( ). Sin embargo, dos puntuaciones diferenciales idénticas pueden tener un significado muy diferente en función dela media y de la varianza de las distribuciones de las que proceden. Para eliminar este inconveniente se utilizan las puntuaciones típicas. Puntuaciones típicas o tipificadas Una puntuación típica se define como el resultado de dividir una puntuación diferencial por su desviación típica o, lo que es lo mismo, la resta de la media a la puntuación directa dividida por su desviación típica. Al proceso de obtener puntuaciones directas se llama tipificación, por este motivo estas puntuaciones se denominan también puntuaciones tipificadas. Las puntuaciones típicas tiene las siguientes propiedades: 1. Su media es cero. 2. Su varianza es igual a 1. Estas mismas propiedades pueden demostrarse teniendo en cuenta que las puntuaciones típicas no son nada mas que el resultado de una transformación lineal de las puntuaciones directas donde la pendiente es 1 partido por la desviación típica y la ordenada en el origen es menos la media partido por la desviación típica. Las puntuaciones típicas reflejan las relaciones entre las puntuaciones con independencia de la unidad de medida. Por eso, cuando las puntuaciones típicas son iguales se dice que las puntuaciones son equivalentes. Puede demostrarse que si dos grupos de puntuaciones típicas son equivalentes sus respectivas puntuaciones directas están relacionadas mediante una transformación lineal. Es decir, si zy = zx, entonces Y = bX + a.
LA CURVA NORMAL Vamos a presentar ahora un tipo de distribución, la distribución normal o campana de Gauss, que presenta un gran interés no sólo teórico sino también aplicado, puesto que un gran número de variables tienden a presentar esta forma de distribución. Del histograma a la curva normal Imaginemos que disponemos de los datos de una muestra en una variable X, representados gráficamente mediante un histograma. Si aumentamos el n y hacemos los intervalos mas pequeños, obtendremos una representación más curvilínea. Si continuamos aumentando el n, haciendo los intervalos mas pequeños y uniendo al histograma el polígono de frecuencias, tendríamos una representación completamente curva, denominada distribución normal, curva normal o campana de Gauss. Esta distribución tiene una gran importancia teórica y presenta las siguientes propiedades: 1. Es simétrica y además la media, la mediana y la moda coinciden y dividen a la distribución en dos partes iguales, cada una de las cuales contiene el 50% de las observaciones, o lo que es lo mismo, una proporción del 0´5. 2. Es asintótica con respecto al eje de abcisas o eje X, es decir; tiene una amplitud infinita, por lo que la curva se extiende desde menos infinito hasta mas infinito, sin llegar a cruzarse con el eje X. 3. Tiene dos puntos de inflexión, donde la curva pasa de ser cóncava a convexa, situados a una desviación típica por encima y por debajo de la media. 4. Si una variable X tiene una distribución normal, con su media ( ) y su desviación típica ( ), una nueva variable Y, obtenida mediante una transformación lineal de la forma Yi = bXi + a, se distribuirá también Normalmente con media de E igual a b por la media de X más a ( ) y desviación típica igual al valor absoluto de b por la desviación típica ( ) 5. Si X1 es una variable que se distribuye normalmente, con una media y desviación típica determinada S1, y X2 es otra variable también distribuida normalmente, con una media ( ) y una desviación típica S2 determinada, entonces una nueva variable Y obtenida sumando o restando las dos variables anteriores (Y = X1 X2), se distribuirá también normalmente y su media será la suma o la resta de las medias anteriores y su desviación típica será igual a la raíz cuadrada de la suma de las dos varianzas anteriores (recordemos que la desviación típica es igual a la raíz cuadrada de la varianza). ( ). Por tanto, existe una familia de distribuciones normales que difieren en cuanto a su media y a su variabilidad y que genéricamente se simbolizan por N ( ); (media, desviación típica). Si transformamos las puntuaciones directas en puntuaciones típicas, obtendremos una distribución normal estándar o tipificada, que tiene de media cero y varianza uno y que simbolizaremos por N (0,1). Esta distribución tiene una extraordinaria importancia no sólo porque un gran numero de variables tiendan a distribuirse en mayor o menor mediada normalmente sino también porque constituye la base de la inferencia estadística (que se verá en otros cursos). Áreas y proporciones bajo la curva normal Si disponemos de los datos originales en una determinada variable X, de un grupo de sujetos y ésta se distribuye normalmente, X N ( );(media, Dtípica), para resolver determinados cálculos, podemos utilizar la tabla A1 de la distribución normal estándar. Para ello deberemos transformar las puntuaciones directas en puntuaciones típicas. Supongamos que tenemos una puntuación típica, z, de 0´25. al acudir a la tabla A1, buscaremos en la primera columna el valor 0´2 y en la primera fila el valor 5. en el cruce de la fila con el de la columna encontramos Ëœ4013 que es la proporción buscada. Este valor significa que la proporción de casos con puntuaciones típicas menores o iguales a 0´25 vale 0´4013. si multiplicamos esta proporción por 100 obtendremos el porcentaje y, mediante una sencilla regla de tres, obtendremos el numero de sujetos que han obtenido puntuaciones típicas menores o iguales que 0´25. Por lo tanto, todos los valores interiores que aparecen en esta tabla se refieren a la proporción de obtener valores menores o iguales a una puntuación z determinada. En otros muchos casos, conocemos el numero de casos o sujetos, su proporción o su porcentaje y necesitamos determinar cuál es la puntuación o valor que nos deja por debajo de esos casos. En este caso, volvemos a hablar de percentiles. ¿Cuál será el percentil 75 (P75) de una distribución? El P75 será una puntuación directa que nos dejará por debajo de sí el 75 % de los casos. A este percentil le corresponderá una puntuación típica que deja por debajo de sí una proporción de 0´75. Ahora se trata del procedimiento inverso al seguido hasta ahora: debemos buscar en el interior de la tabla A1 la proporción 0´75, o en su defecto la más próxima (en este caso 0´7486), y ver a qué puntuación típica corresponde: 0´67. A partir de esta puntuación típica, calculamos el P75 despejando la formula de las puntuaciones directas como una ecuación. En otros casos, lo que desconocemos son los estadísticos de la distribución (media y desviación típica) y para ello debemos disponer de dos ecuaciones puesto que disponemos de dos incógnitas. Normalización de distribuciones Al trabajar con muestras reales suele ocurrir que las puntuaciones no se ajustan exactamente a la curva o distribución normal. En estos casos en que conocemos que la variable se distribuye normalmente en la población puede resultar interesante normalizar las puntuaciones. El proceso de normalización de puntuaciones consiste en adaptarla a la distribución normal, manteniendo los valores de su media y su desviación típica. Este proceso solo tiene sentido si hay suficiente evidencia de que la variables se distribuye de forma normal en la población. El proceso es el siguiente: 1. Se calculan las puntuaciones típicas correspondientes a los limites de cada intervalo, exceptuando los limites extremos de la distribución. 2. Se determinan, a partir de la distribución normal, las proporciones correspondientes a cada intervalo. 3. Se transforman las proporciones anteriores en su correspondiente frecuencia. Las puntuaciones típicas, sin embargo, tienen dos inconvenientes: pueden ser negativas y, a menudo, tener decimales. Para evitar este problema utilizaremos las puntuaciones derivadas. Puntuaciones y escalas derivadas normalizadas Dado que las puntuaciones típicas tienen media cero y desviación típica 1, al aplicar a estas puntuaciones una transformación lineal del tipo Y = bzx + a, podemos obtener una nueva escala con la media y la varianza que deseemos. Las mas habituales, que suponen la distribución normal, son las siguientes: a) T de McCall con media 50 y desviación típica 10, es decir T = 10z + 50. b) Escala CI (cociente intelectual), con media 100 y desviación típica 15, que es ampliamente utilizada en los test de inteligencia: CI = 15z + 100. c) Escala de Estaninos, del inglés stanines (standard nine) con media 5 y desviación típica 2. deja la escala dividida en nueve puntos o estaninos: E = 2z + 5. Apuntamiento o curtosis Tomando como referencia la curva normal, ya tratada en este capitulo, se dice que una curva es muy apuntada si es mas alta y estrecha que la normal; si es más aplanada y ancha que la normal se dice que es poco apuntada. La curva normal se dice que es mesocúrtica, las apuntadas y estrechas son leptocúrticas, y las aplanadas y anchas platicúrticas. Como criterio de apuntamiento se elige las distancias de cada puntuación respecto de la media, elevadas a la cuarta potencia. En el caso de datos agrupados en intervalos la fórmula es la siguiente: Se demuestra que el valor de esta expresión para la curva normal, mesocúrtica, es igual a =. Si Cr > 0, la distribución es leptocúrtica.