A la intuición, que es la forma superior de equilibrio que alcanza el pensamiento propio de la primera infancia, corresponden, en el pensamiento ulterior a los siete años, las operaciones. De ahí que el núcleo operatorio de la inteligencia merezca un examen detallado que habrá de darnos la clave de una parte esencial del desarrollo mental. Conviene señalar ante todo que la noción de operación se aplica a realidades muy diversas, aunque perfectamente definidas. Hay operaciones lógicas, como las que entran en la composición de un sistema de conceptos o clases (reunión de individuos) o de relaciones, operaciones aritméticas (suma, multiplicación, etc., y sus contrarias), operaciones geométricas (secciones, desplazamientos, etc.), temporales (seriación de los acontecimientos, y, por tanto, de su sucesión, y encajamiento de los intervalos), mecánicas, físicas, etc. Una operación es, pues, en primer lugar, psicológicamente, una acción cualquiera (reunir individuos o unidades numéricas, desplazar, etc.), cuya fuente es siempre motriz, perceptiva o intuitiva. Dichas acciones que se hallan en el punto de partida de las operaciones tienen, pues, a su vez como raíces esquemas sensorio-motores, experiencias efectivas o mentales (intuitivas) y constituyen, antes de ser operatorias, la propia materia de la inteligencia sensorio-motriz y, más tarde, de la intuición. ¿Cómo explicar, por tanto, el paso de las intuiciones a las operaciones? Las primeras se transforman en segundas, a partir del momento en que constituyen sistemas de conjunto a la vez componibles y reversibles. En otras palabras, y de una manera general, las acciones se hacen operatorias desde el momento en que dos acciones del mismo tipo pueden componer una tercera acción que pertenezca todavía al mismo tipo, y estas diversas acciones pueden invertirse o ser vueltas del revés: así es cómo la acción de reunir (suma lógica o suma aritmética) es una operación, porque varias reuniones Sucesivas equivalen a una sola reunión (composición de sumas) y las reuniones pueden ser invertidas y transformadas así en disociaciones (sustracciones). Pero es curioso observar que, hacia los siete años, se constituyen precisamente toda una serie de sistemas de conjuntos que transforman las intuiciones en operaciones de todas clases, y esto es lo que explica las transformaciones del pensamiento más arriba analizadas. Y, sobre todo, es curioso ver cómo estos sistemas se forman a través de una especie de organización total y a menudo muy rápida, dado que no existe ninguna operación aislada, sino que siempre es constituida en función de la totalidad de las operaciones del mismo tipo. Por ejemplo, un concepto o una clase lógica (reunión de individuos) no se construye aisladamente, sino necesariamente dentro de una clasificación de conjunto de la que representa una parte. Una relación lógica de familia (hermano, tío, etc.) no puede ser comprendida si no es en función de un conjunto de relaciones análogas cuya totalidad constituye un sistema de parentescos. Los números no aparecen independientemente unos de otros (3, 10, 2, 5, etc.), sino que son comprendidos únicamente como elementos de una sucesión ordenada: 1, 2, 3…, etc. Los valores no existen más que en función de un sistema total, o ¨escala de valores¨, una relación asimétrica, como, por ejemplo, B Ahora bien, es de gran interés observar que, si las operaciones de seriación (coordinación de las relaciones asimétricas) son descubiertas, como hemos visto, hacia los siete años por lo que se refiere a las longitudes o dimensiones dependientes de la cantidad de la materia, hay que esperar a los nueve años por término medio para obtener una seriación análoga de los pesos (a iguales dimensiones: por ejemplo, bolas del mismo tamaño pero de pesos diferentes) y a los once o doce para obtener la de los volúmenes (a través de la inmersión en el agua). También hay que esperar a los nueve años para que el niño pueda concluir A 3. Hacia los 7-8 años, por término medio (pero, repetimos, estas edades medias dependen de los medios sociales y escolares), el niño logra, tras interesantes fases de transición en cuyo detalle no podemos entrar aquí, la constitución de una lógica y de estructuras operatorias que llamaremos ¨concretas¨. Este carácter ¨concreto¨ por oposición al carácter formal, es particularmente instructivo para la psicología de las operaciones lógicas en general: significa que a ese nivel que es por tanto el de los inicios de la lógica propiamente dicha, las operaciones no se refieren aún a proposiciones o enunciados verbales, sino a los objetos mismos, que se limitan a clasificar, a seriar, a poner en correspondencia, etc. En otras palabras, la operación incipiente está todavía ligada a la acción sobre los objetos y a la manipulación efectiva o apenas mentalizada. Sin embargo, por cerca que estén todavía de la acción, estas ¨operaciones concretas¨ se organizaran ya en forma de estructuras reversibles que presentan sus leyes de totalidad. Se trata, por ejemplo, de las clasificaciones: en efecto, una clase lógica no existe en estado aislado, sino sólo por estar ligada mediante inclusiones diversas a ese sistema general de encajamientos jerárquicos que es una clasificación, cuya operación directa es la suma de las clases (A + A’ = B) y cuya operación inversa es la resta que se apoya en la reversibilidad por inversión o negación (B -A’=A o AA=O). Otra estructura concreta esencial es la seriación, que consiste en ordenar objetos según una cualidad creciente o decreciente (A A’, el lado A es sobreestimado y el lado A’ subestimado (a todas las edades), sino además que el máximo de esta ilusión positiva tiene lugar cuando A’ es lo más pequeño posible, con otras palabras, cuando el rectángulo se reduce a una línea recta. Por otra parte, cuando A’ = A (cuadrado), existe ilusión nula mediana y cuando A’ > A, es A’ el que es sobreestimado: pero no lo es indefinidamente, y, si aumentamos más todavía A’, la curva de estas ilusiones negativas no es ya una recta, sino una hipérbola equilátera que tiende hacia una asintota. La curva experimental así obtenida presenta el mismo aspecto a todas las edades, pero como el error disminuye con la edad, esta curva simplemente se aplana. sin perder sus características cualitativas. Ocurre lo mismo (si bien con unas curvas de formas muy diferentes) con otras muchas ilusiones que hemos estudiado desde los 5-6 años hasta la edad adulta (1): por ejemplo, las ilusiones de Delboeuf (círculos concéntricos), de los ángulos, de la mediana de los ángulos, de Oppel Kundt (espacios divididos), de las curvaturas, de Miller-Lyer, etc. Pero, y esto es muy interesante, todas las curvas así obtenidas pueden referirse a una ley única, que se especifica de diversas formas según las figuras, y permite construir en cada caso una curva teórica cuya correspondencia con las curvas experimentales se ha revelado hasta hoy bastante satisfactoria. Expondremos esta ley con pocas palabras, sólo para fijar las ideas, pero nuestro fin es, ante todo, demostrar cómo se explica por consideraciones probabilistas. Sea L1 = la mayor de las dos longitudes comparadas en una figura (por ejemplo, el lado mayor de un rectángulo) y L2 = la menor de las dos longitudes (por ejemplo, el lado menor del rectángulo); sea Lmáx la mayor longitud de la figura (en el caso del rectángulo = L1, pero si L1 y L2 son dos rectas que se prolongan en Lmix., Lmix. = L1 + L2; etc.); sea L = la longitud elegida como unidad y sobre la cual se toma la medida (en el caso del rectángulo L = L1, o L2 según la figura); sea n el número de las comparaciones (L1 – L,’) que intervienen en la figura, y sea S = la superficie. Tenemos entonces, si llamamos P a la ilusión, la ley: (L1-L2)L2X(nL: L¨’í~.) nL(L1-L2)L2 S S~L’,áx. Por ejemplo, en el caso de los rectángulos, tenemos, A si A> A’ (y entonces L=A y n = = 1), siendo A constante y A’ variable: ~~~(A-A’)A’X(A:A) A-A’ AA’ A A y si A’ >’A (y entonces L=A y n= -) siendo A A’ constante. una vez más y A’ variable: (A’-A)Ax(A’:A’>-~-A AA’ A’ Vemos cuán simple es esta ley, que se reduce a una diferencia multiplicada por el término menor (LL2) L2, a una relación (nL: Lmáx.) y a un producto (S). Ahora bien, esta fórmula que hemos llamado ¨ley de los centramientos relativos¨, se explica de la forma más directa por consideraciones probabilistas que dan cuenta, a la vez, de la ley de Weber y del hecho de que los efectos procedentes de estos mecanismos disminuyan con la edad. Tomemos, ante todo, como hipótesis que todo elemento centrado por la mirada se sobreestima justamente por este hecho. Este ¨efecto de centramiento¨ puede ser descubierto en una visión taquistoscópica: si el sujeto mira fijamente un segmento de recta comparándolo con otro segmento que permanece en la periferia, el segmento centrado es entonces sobreestimado (el fenómeno es, por otra parte, muy complejo, ya que además de estos factores topográficos intervienen la atención, la nitidez, el orden y las duraciones de presentación, etc., sin contar los factores técnicos de distancia entre el sujeto y la imagen presentada, de ángulos, etc.). Ahora bien, ya sea que esta sobreestimación por centramiento derive fisiológicamente de la irradiación de las células nerviosas excitadas, como es muy probable, o ya sea que a ello se añadan otros factores (como los pequeños movimientos oscilatorios del globo ocular, que desempeñan sin duda un papel en la explotación visual de la figura, etc.), es fácil hacerle corresponder un esquema probabilista cuya significación es, a la vez, fisiológica y psicológica. Partamos de una simple línea recta de 4-5 cm., ofrecida a la percepción, y dividámosla mentalmente en cierto número de segmentos iguales, por ejemplo, N = = 1000. Admitamos, por otra parte, ya sea en la retina, ya sea en los órganos de transmisión, ya sea en el cortex visual, cierto número de elementos cuyo encuentro con una parte al menor de estos 1000 segmentos es necesario para la percepción de la línea. Supongamos, por ejemplo, que un primer grupo de dichos elementos nerviosos (durante un primer tiempo t) ¨encuentran¨ a BN segmentos, siendo B una fracción constante. Quedarán entonces N1 segmentos todavía no encontrados, a saber: N1=(N-NB)=N(1-B). Tras los segundos n encuentros, quedarán aún N2 segmentos todavía no encontrados: N2= (N1-N1B)=N(1-B)2. Tras los terceros n encuentros, quedarán N, segmentos no encontrados, a saber: N8=(N2-N2B)=N(1-B)8…etc. En cuanto a la suma de los segmentos encontrados, será de NB, luego de (NB + N1B), luego de (NB + + N1B + N2B), etc. Estas sumas nos procuran, pues, el modelo de lo que podría ser la sobreestimación progresiva (momentánea o más o menos duradera) debida al centramiento en una línea percibida en duraciones correspondientes a n, 2n, 3n, etc., o con intensidades o nitideces crecientes, etc. Ahora bien, vemos que este modelo obedece en su mismo principio a una ley logarítmica, ya que, a la progresión aritmética n, 2n, 3n, etc., corresponde la progresión geométrica (1 – B), (1 -B)2, (1 -B)3, etc. Intentemos ahora representarnos de esta misma forma lo que se producirá en la comparación visual entre dos líneas rectas, que denominaremos L1 y L2, dejando a L2 como invariable y dando sucesivamente a L1 los valores L1 = L2, luego L1 = 2L2, luego L1 = 3L2, etc. Dividamos de nuevo estas dos líneas en segmentos iguales, cada uno de los cuales puede convertirse en objeto de un ¨punto de encuentro¨, en el sentido indicado más arriba. Pero lo que añade la comparación entre L1 y L2 es que cada encuentro en L1 puede corresponder o no con un encuentro en L2, y recíprocamente. Llamaremos a estas correspondencias entre puntos de encuentro acoplamientos y admitiremos que la comparación no da lugar a ninguna sobreestimación o subestimación relativas si’ el acoplamiento es completo, mientras que un acoplamiento incompleto comporta la sobreestimación relativa de la línea incompletamente acoplada (porque entonces hay encuentro sin acoplamiento, es decir, sobreestimación por centramiento no compensada por una sobreestimación en la otra línea). El problema está entonces en calcular la probabilidad del acoplamiento completo, y, de nuevo aquí, la solución es muy sencilla. Llamemos p a la probabilidad de que un punto A de una de las líneas se acople con un punto B de la otra línea. Si introducimos un segundo punto de encuentro C en esta otra línea, la probabilidad de acoplamiento entre A y C será también de p, pero la probabilidad de que A se acople simultáneamente con B y con C será de p2. La probabilidad de acoplamiento entre A en una línea y B, C y D en la otra, será de p3, etc. Si Li=Li con n.puntos en Li y m(=n) en Li la probabilidad de acoplamiento completo será, pues, de: (pR)m para L1=L2. Si Li =2Li, la probabilidad de acoplamiento completo será, por consiguiente, de: [(pfl) ~9fl = (p2n)m = pm X 2n para L1 = 2Li. Tendremos asimismo: {f(pn)pn]pnm=prnXSn para Li=3Li … etc. Con otras palabras, a la progresión aritmética de las longitudes de L1 (a saber = L2; 2L2; 3L2; etc.) corresponde la progresión geométrica de las probabilidades de acoplamientos completos, lo cual constituye de nuevo una ley logarítmica. Ahora bien, se ve inmediatamente que esta ley logaritmica que explica la sobreestimación relativa de la mayor de ambas líneas comparadas entre sí comporta directamente, a título de caso particular, la famosa ley de Weber, que se aplica a la percepción de los umbrales diferenciales e incluso, bajo una forma atenuada, a la percepción de diferencias cualesquiera. Admitamos, por ejemplo, que las líneas L1 y L2 presentan entre sí una diferencia x constante y que luego alargamos progresivamente estas líneas L1 y L2 dejando invariable su diferencia absoluta x. Nos es fácil entonces, en función del esquema anterior, comprender por qué esta diferencia x no permanecerá idéntica a sí misma, sino que será percibida según una deformación proporcional al alargamiento de las líneas L1 y L2. Es inútil reproducir aquí el cálculo de ello, que en otro lugar hemos publicado (1); pero vemos fácilmente cómo se explica por las consideraciones que preceden y que se refieren a la probabilidad de acoplamiento, el hecho de que la ley de Weber presente una forma logarítmica. Volvamos ahora a nuestra ley de los centramientos relativos y veamos cómo se explica mediante estas probabilidades de encuentra y de acoplamiento, es decir, mediante los mecanismos de sobreestimación por centramiento que nos parecen dar cuenta de todas las ilusiones ¨primarias¨. Para comprender el problema, conviene comenzar por clasificar las cuatro variedades de acoplamientos posibles. Si comparamos dos líneas desiguales Li > Li podemos distinguir, en efecto, las siguientes variedades: 1. Los ¨acoplamientos de diferencia¨ D entre la línea L2 y la parte de la línea L1 que sobrepasa a L2, es decir, la parte (Li – Li) Los acoplamientos de diferencia existirán, pues, en número de (Li – L2) Li y podemos reconocer inmediatamente en este producto la expresión esencial que interviene en la ley de los centramientos relativos. 2. Por otra parte, existen ¨acoplamientos de parecido¨ R entre la línea L2 y la parte de la línea L1 que es Igual a L2. Dichos acoplamientos existirán, pues, en número de L22. 3. Podemos distinguir también unos acoplamientos D’ entre la parte de Li igual a L2 y la prolongación virtual de L2 hasta igualdad con L1, a saber (Li – L2). Estos acoplamientos D’ serán, pues, de nuevo de un valor ([-1- Li) Li 4. Finalmente, podemos concebir acoplamientos D¨ entre la parte ~ – Li) de la línea L1 y la prolongación virtual de Li de la cual acabamos de hablar. El valor de D¨ será, pues (Li – 2)2. Dicho esto, y para comprender la razón de la ley de los centramientos relativos, pongámosla bajo la forma siguiente: P=+(-Li-Li)L X nL. S Lmax Vemos entonces que el numerador de la primera fracción, a saber: (Li – L2) L2 corresponde a los acoplamientos de diferencia D que hemos descrito hace un momento. En cuanto a la superficie S, corresponde, en todos los casos, al conjunto de los acoplamientos posibles compatibles con las características de la figura. En una figura cerrada como el rectángulo, estos acoplamientos posibles son simplemente los acoplamientos de diferencia D y de parecido R. En efecto, la superficie del rectángulo que es LixL2 puede escribirse L1L2=L22+ (Li – L2) L2: ahora bien, L22 = acoplamientos R y (Li – L2) L2 = = acoplamientos D. En las figuras abiertas como la línea L1 + L2, la superficie (Li + L2)2 corresponde a todos los acomplamientos D + R + D’ + D¨ no sólo entre L1 y L2, sino entre L1 y Lmáx. Con otros términos, la primera fracción de la ley, a saber ~ – L2)Li]/S expresa sencillamente una relación probabilista: la relación entre los acoplamientos de diferencia D (en los Cuales se producen los errores de sobreestimación) y el conjunto de los acoplamientos posibles. En cuanto a la segunda fracción 11L/L,max., expresa la relación del número de los puntos de encuentro o de acoplamiento posible en la línea medida L en relación con los de la longitud total esta relación tiene, pues, simplemente la función de un corrector con respecto a la primera fracción [en las figuras cerradas esta segunda fracción vale en general 1] (1). Se comprende así la significación de la ley de los centramientos relativos, que es de una simplicidad elemental: expresa sencillamente la proporción de los acoplamiéntos posibles de diferencia D en relación al conjunto de la figura. Ahora bien, como son estos acoplamientos los que dan lugar a los errores, puede deducirse que esta ley es válida para todas las figuras planas (que dan lugar a las ilusiones ¨primarias¨) e indica solamente el aspecto general de la curva de los errores (máximos e ilusión nula mediana), independientemente del valor absoluto de éstos. En cuanto a este valor absoluto, depende del carácter más o menos completo de los acoplamientos y entonces se comprende perfectamente por qué estos errores ¨primarios¨ disminuyen con la edad: simplemente porque, con los progresos de la actividad exploradora visual, los acoplamientos se multiplican cada vez más. Pero existe, como hemos visto, una segunda categoría de ilusiones perceptivas: son las que aumentan con la edad, sin interrupción o con un tope alrededor de los 9-11 años y’ con ligera disminución ulterior. Dichos errores no dependen ya de la ley de los centramientos relativos (si bien hacen intervenir aún los efectos de centramiento) y se explican de la forma siguiente. Con la edad intervienen cada vez más actividades perceptivas de exploración y de comparación a distancias crecientes en el espacio (transporte espacial por medio de desplazamientos de la mirada) y en el tiempo (transporte temporal de las percepciones anteriores sobre las siguientes y a veces anticipaciones o Einstellungen). Ahora bien, estas actividades contribuyen en general a disminuir los errores perceptivos, gracias a los que se multiplican.Pero, en otros casos, pueden provocar contrastes o asimilaciones entre elementos distantes que, ea los pequeños, no son puestos en relación y no dan lugar por consiguiente a errores. En este caso es cuando hablamos de errores ¨secundarios¨; ya que constituyen el producto indirecto de actividades que, normalmente, conducen a una disminución de los errores. Un buen ejemplo es el de las ilusiones de peso y de su equivalente visual imaginado por el psicólogo ruso Usnadze, del cual hicimos un estudio genético con Lambercier. Se presenta a los sujetos, en visión taquistoscópica, un círculo de 20 mm. de diámetro al lado de otro de 28 mm. Una vez acabada la impregnación, se presentan en los mismos lugares dos círculos de 24 mm.: el que sustituye al círculo de 20 mm. es entonces sobreestimado por contraste y el que sustituye el círculo de 28 mm. es subestimado por contraste también. Ahora bien, la ilusión aumenta con la edad por más que, en sí mismos, los efectos de contraste, que dependen naturalmente del mecanismo de los centramientos relativos, disminuyen con la edad. La razón de esta paradoja es sencilla: para que haya contraste, es preciso que los elementos anteriormente percibidos (28 + 20 mm.) estén ligados a los elementos ulteriores (24 + 24), y este lazo se debe a una actividad propiamente dicha, que podemos llamar ¨transporte temporal¨ y que aumenta con el desarrollo (puede observarse en otras muchas experiencias). Si los pequeños (de 5 a 8 años) hacen menos transportes temporales, el resultado será, pues, que habrá menos contraste, por falta de puesta en relación, e incluso si el contraste, cuando dicha asociación se produce, es más fuerte en el niño que da el adulto, la ilusión será más débil. Pero ¿no es arbitrario admitir que el transporte temporal es una ¨actividad¨ que aumenta con el desarrollo? No, y la mejor prueba de ello es que, en el adulto, la ilusión es no sólo más fuerte, sino que desaparece antes cuando se reproduce varias veces seguidas la presentación (24+24). Por el contrario, en el niño la ilusión es más débil, pero dura más tiempo (no hay extinción rápida a causa de la perseveración). El transporte temporal es, pues, una actividad susceptible de frenaje, lo cual es el mejor criterio de una actividad. Otro ejemplo sorprendente de ilusión que aumenta con la edad es la sobreestimación de las verticales con respecto a las horizontales. Estudiando con A. Morf la figura en forma de L según sus cuatro posiciones posibles L 7 L y F encontramos: (1) que el error en la vertical aumenta con la edad; (2) que aumenta con el ejercicio (cinco repeticiones) en lugar de disminuir inmediatamente en este caso como las ilusiones primarias; y (3) que depende del orden de presentación de las figuras como si hubiese transferencia del modo de transporte espacial (de abajo arriba o de arriba abajo). Asimismo, mi discípulo Wursten, al estudiar a petición mía la comparación de una vertical de 5 cm. y de una oblicua de 5 cm. (separada por un intervalo de 5 cm. e inclinada en diversos grados) (1), encontró que los pequeños de 5-7 años logran estas valoraciones mucho mejor que los propios adultos: el error aumenta con la edad hasta aproximadamente 9-10 años para disminuir ligeramente a continuación. Ahora bien, el aumento con la edad de estos errores acerca de las verticales o las oblicuas, etc., se explica, según parece, de la manera siguiente. El espacio perceptivo de los pequeños está menos estructurado que el de los mayores según las coordenadas horizontales y verticales, ya que este estructuramiento supone la puesta en relación de los objetos percibidos con unos elementos de referencia situados a distancias que sobrepasan las fronteras de las figuras. Con el desarrollo, en cambio, se hace referencia a un marco cada vez más amplio y alejado, en función de actividades perceptivas de relacionar, etc., lo cual conduce a una oposición cualitativa cada vez más fuerte entre las horizontales y las verticales. En sí mismo, el error en la vertical es, sin duda, debido a otra distribución de los puntos de centramiento y de los ¨encuentros¨ en la vertical, cuyas partes superior e inferior no son simétricas desde el punto de vista perceptivo (‘a parte superior está ¨abierta¨ mientras que la parte inferior está ¨cerrada¨ hacia el suelo), a diferencia de la horizontal, cuyas dos mitades son perceptivamente simétricas. Pero en la medida en que los pequeños tienen un espacio menos estructurado según unas coordenadas, por falta de actividad perceptiva que relacione a distancia, son menos sensibles a esa diferencia cualitativa de la horizontal y la vertical y, por lo tanto, también a la asimetría perceptiva de esta última, asimetría que es función del marco general de la figura. En suma, existe, pues, además de los efectos ¨primarios¨ ligados a la ley de los centramientos relativos, un conjunto de actividades perceptivas de transportes, comparaciones a distancia, transposiciones, anticipaciones, etc., y las actividades que en general conducen atenuar los errores primarios, pueden provocar errores secundarios cuando ponen en relación a distancia elementos que crean un contraste, etc., es decir, provocan ilusiones que no se producirían sin el hecho de relacionar. Pero hay que comprender que estas actividades intervienen en cierto sentido ya en los efectos primarios, puesto que los ¨encuentros¨ y los ¨acoplamientos¨ de los que hemos hablado al tratar de ellos, son debidos a centramientos y a descentramientos que ya constituyen actividades. A todos los niveles puede, pues, decirse que la percepción es activa y no se reduce a un registrar pasivo. Como decía ya K. Marx en sus objeciones a Feuerbach, hay que considerar la sensibilidad ¨como actividad práctica de los sentidos del hombre¨.