LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS
La enseñanza de las matemáticas ha planteado siempre un problema bastante
paradójico. En efecto, existe una cierta categoría de alumnos, por otra parte
inteligentes y que incluso pueden dar prueba en otros campos de una inteligencia
superior, que fracasan mas o menos sistemáticamente en matemáticas; estas
constituyen una prolongación directa de la misma lógica hasta el punto de que
actualmente es imposible trazar una frontera estable entre los dos campos (sea
cual sea la interpretación dada a esta relación: identidad, construcción progresiva,
etc.). Por tanto, es difícil. concebir que sujetos bien dotados para la elaboración y
utilización de las estructuras lógico-matemáticas espontáneas de la inteligencia se
encuentren en desventaja en una enseñanza que se refiere exclusivamente a
aquello de lo que se derivan tales estructuras. Sin embargo, el hecho está ahí y
plantea un problema.
Habitualmente se responde de una manera un tanto simple al hablar de “aptitud”
para las matemáticas. Pero si lo que acabamos de suponer en cuanto a las
relaciones de esta forma de conocimiento con las estructuras operatorias
fundamentales del pensamiento es exacto, la “aptitud” se confunde con la
inteligencia misma, lo que no se considera el caso, o se relaciona no con las
matemáticas como tales sino con la forma como se las enseña. Efectivamente, las
estructuras operatorias de la inteligencia, aun siendo de naturaleza lógicomatemática,
no son conscientes en tanto que estructuras en el espíritu de los niños:
son estructuras de acciones u operaciones que ciertamente dirigen el
razonamiento del sujeto, pero no constituyen un objeto de reflexión para él (lo
mismo que se puede cantar sin estar obligado a construir una teoría del solfeo e
incluso sin saber leer música). Por el contrario, la enseñanza de las matemáticas
invita a los sujetos a una reflexión sobre las estructuras, pero lo hace por medio de
un lenguaje técnico que implica un simbolismo muy particular y exige un grado más
o menos alto de abstracción. La sedicente “aptitud para las matemáticas puede
muy bien llevar a la comprensión de este lenguaje, en oposición a las estructuras
que describe, o a la rapidez de abstracción en tanto que ella está ligada a un
simbolismo tal y no en tanto que reflexión sobre estructuras por otra parte naturales.
Además, puesto que en una disciplina deductivo todo se relaciona, el fracaso o la
incomprensión sobre tal o cual eslabón entraña una dificultad creciente en la
continuación de los encadenamientos, de tal forma que el alumno inadaptado en un
punto no comprende ya la continuación y acaba por dudar cada vez más de si
mismo: complejos efectivos, a menudo reforzados por el entorno, acaban por
bloquear una iniciación que pudo ser completamente diferente.
En una palabra, el problema central de la enseñanza de las matemáticas consiste
en ajustar recíprocamente las estructuras operatorias espontáneas propias de la
inteligencia con el programa o los métodos relativos a los campos matemáticos
enseñados. Este problema se ha modificado profundamente en las últimas
décadas a causa de las transformaciones de las mismas matemáticas; mediante
un proceso en apariencia paradójico pero psicológicamente natural y muy
explicable, las estructuras más abstractas y más generales de las matemáticas
contemporáneas se incorporan a las estructuras operatorias naturales de la
inteligencia y del pensamiento mucho mejor de lo que lo hacían las estructuras
particulares que constituían el armazón de las matemáticas clásicas y de la
enseñanza.
En efecto, se sabe que después de los trabajos de la escuela Bourbaki
(prolongación de una larga serie de esfuerzos orientados en el mismo sentido) las
matemáticas hoy no aparecen ya como un conjunto de capítulos más o menos
separados, sino como una vasta jerarquía de estructuras que se engendran unas a
otras a partir de algunas estructuras madres” que se combinan entre ellas o se
diferencian de distintas maneras. Estas estructuras elementales son tres: las
estructuras algebraicas, caracterizadas por una reversibilidad en forma de
inversión (T-T-1=O) y cuyo prototipo es el “grupo”, las estructuras de orden, cuya
reversibilidad es una reciprocidad característica de los sistemas de relaciones y
cuyo prototipo es la “red” y las estructuras topológicas que conducen a nociones de
continuidad y vecindad (correspondencias biunívocas y bicontinuas, etc.).
Estas tres estructuras elementales corresponden bastante mejor a las estructuras
operatorias fundamentales del pensamiento. Desde las “operaciones concretas”,
de las que ya se ha tratado, se encuentran estructuras algebraicas en las
agrupaciones lógicas de clases, estructuras de orden en las agrupaciones de
relaciones, y estructuras topológicas en la geometría espontánea del niño (que es
topológico mucho antes de alcanzar las formas proyectivas o la métrica euclídea,
conforme al orden teórico y contrariamente al orden histórico de construcción de
las nociones). Desde las operaciones “preposicionales” se encuentran estructuras
operatorias de “grupos” y de “redes”, etc.
Inspirándose en las tendencias bourbakistas, la matemática moderna hace más
hincapié en la teoría de los conjuntos y en los isomorfismos estructurados que en
los compartimientos tradicionales; de aquí que se haya dibujado un movimiento
que tiende a introducir en la enseñanza lo más pronto posible estas nociones. Tal
tendencia está plenamente justificada porque precisamente las operaciones de
reunión e inserción de conjuntos, la posición en correspondencia fuente de los
isomorfismos, etc., son operaciones que la inteligencia construye y utiliza
espontáneamente desde los 11-12 años (llegando en este nivel a la compleja
estructura de los conjuntos de partes”, fuente de la combinatoria y de las “redes”).
La inteligencia elabora y utiliza estas estructuras sin tomar consciencia en una
forma reflexiva, no como M. Jurdain, que escribía en prosa sin saberlo, sino, mejor
aún, como cualquier adulto no especialista en lógica manipula aplicaciones,
distinciones, etc., sin tener la menor idea de la forma en que la lógica simbólica o
algebraica llega a poner esas operaciones en fórmulas abstractas y algebraicas.
A pesar del progreso de principio realizado por el retorno a las raíces naturales de
las estructuras operatorias, subsiste enteramente el problema pedagógico de
encontrar los métodos más adecuados para pasar de estas estructuras naturales
pero no reflexivas a la reflexión sobre tales estructuras y a su teorización.
Aquí reaparece el conflicto de que hablábamos al comienzo de este apartado entre
la manipulación operatoria de las estructuras y el lenguaje simbólico, que pueda
permitir expresarías. Las estructuras más generales de las matemáticas modernas
son al mismo tiempo las más abstractas, mientras que las mismas estructuras sólo
están representadas en el espíritu de los niños en forma de manipulaciones
concretas, materiales o verbales. Por otra parte, el matemático no acostumbrado a
la psicología puede temer en todo ejercicio concreto un obstáculo para la
abstracción, mientras que el psicólogo está habituado a distinguir cuidadosamente
la abstracción a partir de los objetos (origen de la experiencia física, extraño a la
matemática) y la abstracción a partir de las acciones, origen de la deducción y de
la abstracción matemáticas. No hay que creer, efectivamente, que una educación
sana de la abstracción suponga un empleo prematuro del lenguaje y el simbolismo
técnicos únicamente, ya que la abstracción matemática es de naturaleza
operatoria y procede genéticamente por etapas continuas a partir de las
operaciones más concretas. Tampoco hay que confundir lo concreto con la
experiencia física, que extrae sus conocimientos de los objetos y no de las
acciones mismas del sujeto, ni con las presentaciones intuitivas en el sentido de
figurativas, ya que estas operaciones nacen de las acciones y no de
configuraciones perceptivas o imaginadas.
Estos distintos malentendidos posibles muestran que si la introducción de las
matemáticas modernas en los niveles más precoces constituye en principio un
gran progreso desde el punto de vista psicopedagógico, las realizaciones pueden
ser, según los casos, excelentes o discutibles de acuerdo con los procedimientos
empleados. Debido a esto, la Conferencia internacional de Instrucción pública
(Oficina Internacional de Educación y UNESCO), en su sesión de 1956, insertó en
su Recomendación no. 43 (La enseñanza de las matemáticas en las escuelas
secundarias) los artículos siguientes:
20. Interesa: a) conducir al alumno a formar las nociones y descubrir por sí mismo
las relaciones y las propiedades matemáticas más que imponerle un pensamiento
adulto ya hecho; b) asegurar la adquisición de las nociones y de los procesos
operatorios antes de introducir el formalismo; c) no confiar al automatismo más que
las operaciones asimiladas.
21. Es indispensable: a) hacer adquirir al alumno, en primer lugar, la experiencia
de los entes y relaciones matemáticos e iniciarle después en el razonamiento
deductivo; b) extender progresivamente la construcción deductiva de las
matemáticas; c) enseñar a plantear los problemas, a buscar los datos, a
aprovecharlos y a apreciar los resultados; d) dar preferencia a la investigación
heurística de los problemas antes que a la exposición doctrinal de los teoremas…
22. Es necesario: a) estudiar los errores de los alumnos y ver en ellos un medio de
conocer su pensamiento matemático; b) impulsar a la práctica del control personal
y a la autocorrección; c) dar el sentido de la aproximación… ; d) dar prioridad a la
reflexión y al razonamiento … , etc.
La importancia, así subrayada, de la investigación personal del alumno es válida
para todos los niveles. Un educador belga, Cuisenaire, ha introducido desde las
primeras iniciaciones al cálculo un material concreto, en forma de regletas que
llevan conjuntos de diversas unidades, conocido con el nombre de “números en
colores”. La base es exactamente la que habían utilizado Audemars y Lafendel en
la Maison des Petits de Ginebra, pero con una innovación que consiste en
distinguir por sus respectivos colores las reglas de longitudes 1, 2, 3, etc. Tanto
esta introducción de los colores como el principio mismo de la correspondencia de
unidades espaciales y números pueden dar lugar a interpretaciones y aplicaciones
considerablemente diferentes, a pesar de los esfuerzos de C. Gattegno para
introducir una especie de inspección internacional (de la que cada uno puede
pensar lo que quiera) del “método Cuisenalre”, pues de hecho no existe un método
Cuisenaire unificado, sino una pluralidad de métodos que se escalonan de mejor a
peor (y eso dicho sin disminuir en nada los méritos de Cuisenaire). Excelente
cuando da lugar a manipulaciones activas y descubrimientos, realizados por el
niño mismo en la línea de desarrollo operatorio espontáneo, puede dar lugar a la
tentación de demostraciones hechas ante el niño únicamente por el adulto, lo que
ciertamente facilita la comprensión con respecto a métodos más verbales o más
estáticos, pero tiene el riesgo (y este riesgo aumenta con la presencia de los
colores) de dar primacía a las configuraciones sobre las operaciones y, por tanto,
a los aspectos figurativos del pensamiento (percepción, imitación e imágenes)
sobre los aspectos operativos (aciones y operaciones). El riesgo se hace realidad,
con todos los peligros que esto comporta, si la atención se carga primeramente
sobre las relaciones de colores (precisamente por ello la Maison des Petits había
renunciado a este auxiliar ambivalente), y si se cree ser fiel a las líneas directrices
de la escuela activa cuando no se hace más que enseñar de manera intuitiva.
Actualmente se realizan una serie de investigaciones en Canadá, Gran Bretaña,
Suiza, etc., sobre las ventajas e incovenientes de los distintos métodos utilizados
bajo el nombre de Cuisenaire: uno de los procedimientos de análisis empleados
consiste en comparar grupos de niños educados según los métodos habituales o
con los números en colores, evaluando los niveles alcanzados por medio de
nuestras diversas experiencias operatorias. A este respecto, parece que se asiste
a un progreso parcial de desarrollo en el caso en que el método de los números
en colores se utiliza de modo activo y operatorio y, desde luego, cuando los
maestros denominan suficientemente los elementos de matemáticas modernas y
de la psicología de las operaciones intelectuales.
Están en curso ensayos sistemáticos a niveles más elevados y hasta en el
bachillerato (pero a partir de los orígenes mismos del cálculo y sin emplear los
números en colores), principalmente en Neuchátel, bajo la dirección del
matemático y pedagogo L. Pauli, para utilizar a título de ejercicios educativos los
dispositivos experimentales que nosotros habíamos empleado con una finalidad
psicológica, con el objetivo explícito de proporcionar una enseñanza de las
estructuras de la matemática moderna partiendo de estructuras operatorias
espontáneas. Un esfuerzo del mismo tipo, notable por su imaginación para
inventar nuevos dispositivos estructurales, ha sido realizado por Dienes en
Australia y en los numerosos países en que, ha vivido.
La formación del espíritu experimental y la Iniciación en las ciencias físicas y
naturales
La sociedad contemporánea ha sido profundamente transformada (y el tiempo dirá
si en su bien o para su destrucción) por los trabajos de los físicos, los químicos y
los biólogos. No es menos cierto que la elite de los especialistas y los inventores
constituye una fracción ínfima y heterogéneo del cuerpo social, en primer lugar
porque sus investigaciones son muy mal comprendidas tanto en el sentido general
como en su detalle técnico, y después porque la educación intelectual corriente y la
instrucción pública se han encontrado inadaptadas de forma singular con respecto
a las nuevas necesidades de formación y reclutamiento tanto en el plano técnico
como en el terreno científico.
En efecto, la educación tradicional de algunos grandes países se ha ocupado
absolutamente de las humanidades y las matemáticas, como si las dos cualidades
dominantes del hombre racional fueran moverse a gusto en la historia y en la
deducción formal. En cuanto a la práctica experimental era considerada como
actividad menor, apta para las civilizaciones de filosofía empirista (a pesar de todo
lo que se ha dicho sobre la inadecuación de tal filosofía a las condiciones
auténticas de experimentación propiamente científica). Por otra parte, se creía
haber proporcionado una formación experimental suficiente iniciando al alumno en
los resultados de experiencias pasadas o dándole el espectáculo de experiencias
de demostraciones hechas por el profesor, como si se aprendiese a nadar
mirando a los bañistas desde los bancos del muelle. Es verdad que a menudo se
han añadido laboratorios a las clases magistrales, pero repetir experiencias ya
hechas queda muy alejado aún de una educación del espíritu de invención e
incluso de una formación del espíritu de control o de verificación.
En consecuencia, si el objetivo de la educación intelectual es formar inteligencias
más que poblar la memoria, y formar investigadores y no solamente eruditos, en
este punto hay una carencia manifiesta de la enseñanza tradicional. Es verdad que
la física ha nacido casi veinte largos siglos después que las matemáticas,
precisamente por razones que explican también por qué una formación
experimental es mucho más difícil de organizar que cursos de latín o matemáticas.
Sin embargo, y ya se ha entrevisto más arriba, el niño adquiere espontáneamente
entre los 11-12 y 14-15 años los instrumentos intelectuales necesarios para la
experimentación propiamente dicha. Estos instrumentos son de dos clases. En
primer lugar, instrumentos de pensamiento en forma de una combinatoria y de
operaciones proposicionales que permiten oponer las implicaciones a las no
implicaciones, las disyunciones no exclusivas a las exclusivas, las conjunciones a
las incompatibilidades, etc. En segundo lugar, una conducta particular, posible
mediante estas operaciones y que consiste en disociar los factores en hipótesis
previas y en hacerlos variar experimentalmente uno a uno neutralizando los otros, o
en combinarlos de distintas maneras.
A este respecto, dos ejemplos elementales mostrarán la diferencia de las
reacciones espontáneas de los niños de 12-15 años y los de 7 a 10-11 años.
1) Después de haber mostrado un líquido coloreado de amarillo se presentan
cuatro líquidos A-D incoloros e inodoros y un cuentagotas E y se pide reproducir el
mismo color: los sujetos de 7-10 años los combinan de dos en dos y después
mezclan todo sin llegar a conseguirlo, mientras que desde los 11-12 años
proceden de dos en dos, de tres en tres y de cuatro en cuatro según todas las
combinaciones posibles y descubren que el color supone la reunión de tres
elementos; que un cuarto elemento es decolorante y que el quinto es neutro. 2) Se
presentan cañas más o menos flexibles y se pide descubrir los factores en juego
(longitud, delgadez, forma de la sección, materia de la caña) y probar su papel
efectivo. Los sujetos de 11-12 años descubren ya más o menos estos factores
pero mediante tanteos globales, correspondencias seriales, etc., y para demostrar
por ejemplo el papel de la longitud les será necesario comparar una caña larga y
delgada con una corta y gruesa “para que se vea mejor la diferencia. Los sujetos
de 13-15 años, por el contrario, empiezan por un inventario de las hipótesis
posibles y después estudian cada factor haciéndolo variar solo, sin modificar lo
restante; por tanto, comprenden que una variación de dos o más factores a la vez
no permite llegar a conclusión alguna (salvo para demostrar que para producir tal
efecto particular, como en la experiencia 1, es necesario una combinación de dos
o tres factores).
Al pasar del nivel de las operaciones concretas al de las operaciones
proposicionales o hipotético-deductivas, el niño se hace a la vez capaz de
combinar estas hipótesis y de verificarlas experimentalmente (se encontrarán
muchos otros ejemplos de estas conductas espontáneas de experimentación
racional en la obra de B. Inhelder y J. Piaget: De la logique de l’enfant a la logique
de l’radolescent, París, P.U.F.); si esto es cierto está claro que en la escuela deben
desarrollarse y orientarse tales capacidades para extraer de ellas una educación
del espíritu experimental y una enseñanza de las ciencias físicas que insista en la
investigación y el descubrimiento más que en la repetición.
Esto ha empezado a ser advertido en algunos países y pueden citarse como
ejemplo los Estados Unidos, cuyo movimiento interesa seguir, pues el amplio
espacio reservado en esta gran nación a la iniciativa privada permite percibir
mejor las influencias en juego y las etapas de las realizaciones, por parciales que
sean (o precisamente por ello). Una de las principales corrientes ha salido de la
Academia nacional de Ciencias, en Washington, y de la llamada de alarma
lanzada por eminentes físicos como G. Zacharias y F. Friedman en el célebre
Massachusetts Institute of Technology (M.I.T.), los cuales han insistido en el
completo desfase existente entre el espíritu de la ciencia en marcha y la enseñanza
de las ciencias en todos los grados. Debido a ello, la Academia de Ciencias
reunió en Woods Hole, en 1959, una conferencia de expertos que comprendía un
conjunto importante de matemáticos, físicos, biólogos y psicólogos americanos,
además de una invitada extranjera, nuestra colaboradora B. Inhelder. Los trabajos
de la conferencia han sido resumidos e interpretados de forma muy aguda por el
psicólogo J. Bruner, de Harvard (The process of education, Harv. Univ. Press,
1961), y el M.I.T. ha fundado una sección de enseñanza de las ciencias que cubre
todos los grados y en la que físicos de oficio no temen dedicar un tiempo precioso
de sus investigaciones para estudiar con psicólogos y educadores la puesta a
punto de métodos didácticos; además, se han intentado numerosas aplicaciones.
De esta manera el impulso dado ha provocado la constitución de numerosos
grupos de trabajo que no se limitan, como casi siempre se ha hecho en nuestro
país, a organizar coloquios o conferencias, sino que trabajan abiertamente en las
mismas escuelas para entregarse a experiencias didácticas. Y, cosa
sorprendente, en estos grupos se encuentran a menudo físicos profesionales que
se dedican a investigaciones pedagógicas sobre niños muy pequeños en las
clases de iniciación. Por ejemplo, R. Karplus, del departamento de física de la
Universidad de California en Berkeley, ha preparado diapositivas cuyos resultados
ha estudiado él mismo para iniciar a los niños más pequeños en la relatividad de
los puntos de vista (describiendo los mismos fenómenos según puntos de vista de
observadores distintos) o en la causalidad por interacciones y no por series
temporales simples (véase Piaget rediscovered. A Report of the Conference on
Cognítive Studies; a Curriculum Development, R. E. Ripple and V. N. Rockastle ed.,
Cornell University, págs. 113-117). Otro ejemplo: el profesor de técnica eléctrica
Ben Nichols ha organizado en los “Educational Services Incorporated” una sección
de “Elementary Science Study Branch” en la que, con la colaboración de la
psicóloga y pedagoga E. Duckworth, se comparan grupos de niños según que
puedan o no dedicarse a actividades espontaneas con un material que permite
descubrir leyes físicas elementales (Piaget redíscovered, págs. 119-122).
Es evidente que estos ensayos de didáctica física activa se coordinan con los
esfuerzos para renovar la enseñanza de las matemáticas e incluso de la lógica en
acción. Esto es lo que han mostrado J. A. Easley con respecto al grupo de las
cuatro transformaciones (véase el Cap. VIII), J. Kilpatrick (School Mathematies
Study Group), R. A. Davis (Madison Project in Mathematies), E. Berger (National
Council of Teachers in Mathematies) y otros (Illinois Mathematies projeets,
etcétera) en conferencias recientes en las universidades de Cornell y Berkeley
(véase Piaget rediscovered, páginas 109, 128, 134, 139 y 141).