Recuerdo a aquellos entre ustedes que no estaban aquí la última vez que la administración de la Escuela me encargó pedirles que no fumaran, que no fumaran querido Alain, es un pedido de la Administración de la Escuela. Esta última vez, entonces, les hablé en primer término de lo que podía dar inmediatamente de mi visita a América. Es un tema que no terminó, pienso, de rendir sus frutos, sus consecuencias en la continuación de lo que tendría por decirles. Por hoy lo dejaremos radicalmente de lado. ¿Me oyen en el fondo?. No muy bien. Y que, entonces, este tema no lo retomaré hoy. No hablé de eso sino la última vez y, en cuanto a lo otro que dije, me di cuenta que había puesto, digamos, a algunos en aprieto, por no decir que produje entre ellos algún escándalo. En efecto, toqué en dos puntos, el primero a causa del artículo de Michel Tort, dije, tuve sobre el plagio algunas palabras que me valieron la manifestación de un asombro: ¿Cómo —pudo decirme uno de mis oyentes— puede hacer tan poco caso, como usted lo anunció, del plagio?. Repitiendo lo que, no obstante, yo había dicho desde hace tiempo, desde hace mucho tiempo, desde siempre, lo saben aquellos que me siguen desde el origen, que no hay propiedad de la ideas. ¿Es que no les parece que se agarran mucho ustedes mismos de lo que les es debido, —homenaje en este caso—, les es rendido?. Creo que hay ahí un punto a precisar si, en efecto, es bueno que a cada uno, no solamente a mi, les sea rendido homenaje por lo que puede aportar de nuevo en la circulación de lo que se articula de un discurso coherente. Esto no puede ser sino desde el punto de vista de la historia y de una manera que debe quedar limitada ahí. ¿Quien soñaría pues, haciendo un curso de matemática, dar a cada uno de los iniciadores de lo que se ve llevado a articular en su curso, su lugar y lo que es debido?. Todo esto aparece asimilado, reintegrado, retomado, generalizado, o particularizado, según los casos, y de una manera, después de todo, que pasa muy bien de toda referencia al primer tiempo de la puesta en circulación de una demostración o de una forma. Es por esto que entendí desplazar el acento, sobre lo que llamé de una manera más o menos propia, desvío de un pensamiento de pensamiento. Cuando un discurso en lo que tiene de conquistador, de revolucionario, para llamar las cosas por su nombre, se está sosteniendo —y en nuestros días sabemos en donde se sostienen estos discursos—, en retomar las operaciones, incluso el material, para orientarlo a fines que son totalmente aquellos de donde entiende distinguirse, es ahí que al menos, sería necesario remitir los elementos de discurso, ahí donde se los ha tomado, donde habían sido creados, orientados a un fin perfectamente articulado y claro que es aquel que se entiende poner en comunicación. Si el análisis es un operación que se sigue en referencia a la ciencia y en tanto que replanteado de una manera enteramente orientado por la existencia de esta ciencia, la cuestión de la verdad, esta interrogación es por el análisis llevada a su máximo, al máximo de estrechez, precisamente, que corresponde a esta meta, que es la ciencia que él interroga. Si sobre esta cuestión de la verdad es la religión la que debe darle respuesta, que lo diga abiertamente. Pero entonces, que no se jacten de la posición del filósofo, que hasta hoy precisamente, nunca varió en distinguirse de esta respuesta religiosa. Nadie aún se atrevió de hacer de Freud un apologista de la religión. Pero algunos no reconocer que soy yo el que les enseño a leer a Freud, mientras que ésta operación esta en curso, para desviar su incidencia de esta lectura sobre las arenas del desconcierto del pensamiento espiritualista, esta es propiamente una deshonestidad, no de escritor —que roba tal o cual pasaje del discurso de un colega—, sino de filósofos. Es hablando con propiedad, una traición filosófica, a la cual no voy a dar esa especie de grandeza, que sería revelarlo que puede haber a partir de un cierto momento de deshonestidad fundamental en la posición filosófica misma, si ella ignora cuando la renueva el psicoanálisis. En este caso es, simplemente, una deshonestidad débil, una falta absoluta de seriedad, un puro deseo de parada del que agradezco al señor Tort haber demostrado la inoperancia y el ridículo. Hablé a continuación de otra cosa que apenas esbocé. Hablé del volteo introduciendo lo que tengo que decirles hoy sobre el plano de lo topológico, y a fe mía por este volteo, resultó que algunos se sintieron un poquito dados vueltas, que, en verdad, en un cierto contexto las palabras surten en efecto y que ahí aún nos encontramos, por supuesto, emitidos los que conciernen, en tanto al uso de la ideas, sino al uso de las palabras. Tomar una palabra como soporte de un nudo de discurso, no es seguramente, un operación inofensiva, ya que esta palabra no pudo ser tomada en otro discurso. Es otro nivel de la función de la homonimia y en algunos casos puede, en efecto, como portar en sí algunas consecuencias. Este volteo que traje, pues, a la luz, o más bien, volví a traer, como van verlo a propósito de la figura del toro, creí poder hacerlo de una manera bastante rápida, creyendo que, al menos en una parte de mi auditorio, se recordaba que al final de año 1962, en el Seminario La identificación, aquel donde traje a la luz la función fundamental del rasgo unario, del corte y donde introduciendo ya la función de las diversas formas topológicas de las que voy a tener que hablar a propósito del toro, el 30 de Mayo de 1962 exactamente, mostré expresamente cómo se articulaban dos campos que eran propiamente aquellos de dos bordes, si ustedes quieren tomados uno en el otro, tal como esa figura puede representarlo. Y como detallé durante mucho tiempo, como es posible de ver en las rotaciones de uno sobre el otro rotaciones de las que es demostrable, que es especulativamente posible la posibilidad de un calco de todo lo que se puede dibujar sobre uno durante esta rotación sobre el otro con lo que esto implica: es que el corte siguiente, del que mostré la importancia, porque estaba precisamente ahí aquello sobre lo que insistí mucho tiempo durante este año, de que el corte siguiente que habíamos aprendido a introducir como el camino de rodeo, si se puede decir, del cuerpo del toro, es la manga. Y como es necesario que una demanda que se repite en esta forma de equivalencia no pueda permitirse sino, —me expreso en términos de imagen y simple de manera de hacerme entender bien por un auditorio que no está forzosamente iniciado en las formas precisamente matemáticas que darían a esto su rigor, —hacer si puedo decir, el giro de este agujero central, que es la propiedad topológica esencial del toro, aquella que introduce en su interior este enigma de contener un interior, en relación al interior el toro, o si ustedes quieren de una manera más rigurosa, de permitir que circuitos cerrados en el interior del toro se encadena en, o se ricen en relación a circuitos cerrados que son exteriores, se los ilustro. Esto es, —voy a hacércelos en otro color— este que es un circuito cerrado en el interior, ustedes ven que es un toro, es posible hacer un circuito cerrado en el exterior que esté rizado con el circuito cerrado interior, lo que es estrictamente imposible en la fórmula topológica que forma desde siempre el modelo sobre el cual se articula el pensamiento del interior y del exterior, que es la esfera. Cualquier circuito cerrado que ustedes hagan en el interior de la esfera no estará jamas para ustedes con un circuito cerrado exterior. Habiéndose mantenido durante mucho tiempo esta forma topológica como la forma prevalente para toda concepción del pensamiento y permaneciendo, por ejemplo inmanente en el uso de los círculos de Euler en lógica, está ahí precisamente ahí el interés de las novedades topológicas que promuevo frente a ustedes y demostrarles que uso puede tener para resolver ciertos callejones sin salida de los problemas que nos son planteados por la topología de nuestra experiencia y que encuentran en estas formas topológicas su soporte y su solución. Que este volteo sea un volteo. Eso se puede ver fácilmente y lo digo inmediatamente, es del orden, parece, de la recreación matemática representarlo como se los voy a representar. No obstante, esto conserva todo su interés y toda su importancia, y como yo no podría insertarlo fácilmente en la continuación de mi discurso, voy a darles enseguida su imagen. Consideren simplemente esto como una interrupción a lo que se les va decir de una manera más coherente y más desarrollada. No es simplemente de otro toro que se trata que puede servir de calco a lo que está inscripto en el otro, topológicamente un toro es algo totalmente equivalente a lo que se llama, en topología, la inserción sobre una esfera de un asa. Ustedes ven bien porqué la transformación continua, como se expresa en ciertos manuales, es exactamente lo mismo un toro que un asa, que esta especie de campana cerrada. A partir de ahí les será más fácil comprenderla legitimidad del término volteo si damos a esta palabra su sentido intuitivo, su sentido intuitivo que no es porque sí que evoqué la manipulación, la maniobra, la mano, esta mano que está presente hasta en el término alemán para designar este tratamiento handlung. El favor que podemos encontrar ahí aquel si no de completamiento reducido a lo que hay de prevalencia visual en el término intuición, al menos de hacerlo retroceder. Ya los estoicos habían experimentado su importancia y su necesidad —algunos de entre ustedes saben lo que ellos hacían de la mano abierta, de la mano cerrada, del puño, incluso de este volteo del que la mano hace imagen. Aquí es hablando con propiedad, a esta especie de volteo que está ligado al uso de la mano, el volteo de una piel que lo recubre, el volteo del guante, para llamarlo por su nombre, que hacemos referencia. Este hecho de que el guante derecho, volteado, haga un guante izquierdo y, más exactamente, haga la imagen del guante en el espejo, en la medida en que la imagen del guante en el espejo es el guante del especie opuesta, este es el punto de partida, interés que damos a este término de volteo. No olviden que este ejemplo intuitivo es propiamente lo que tiene necesidad para Kant, alguna de las amarras de su estética trascendental, no me detengo ahí por más tiempo por el momento, pero consulten el capítulo, que si mi recuerdo es bueno, es el capítulo XIII de los Prolegómenos a toda metafísica futura. Ustedes verán toda su importancia, que va a enraizarse más adelante en toda la discusión entre Leibniz y Newton sobre la naturaleza del espacio. En el caso de nuestra esfera con el asa, ésta esta únicamente ahí, sobre todo bajo esta forma para volver sensible esto que un toro es tan volteable como cualquier soporte de topología esférica, tal como el guante, ustedes lo ven bien, no es desemejante en cuanto a su topología a una esfera, basta que ustedes soplen bastante fuerte en su tripa para verla reducirse a una forma esférica. El toro es volteable del mismo modo, basta en efecto, para que ustedes lo vean inmediatamente, que pasando la mano por un abertura cualquiera, ustedes vayan a enganchar el interior del asa para ver lo que sucede. He aquí ahora mi esfera abierta por mi mano y volteada. Aquí ustedes ven dibujarse con dos agujeros en la esfera lo que podría parecer un asa interior. Voy a poner mi dedo acá, en el interior de esta asa interior, les es, al mismo tiempo, inmediatamente sensible, pienso, que al tirar ahí ustedes ven producirse, reproducirse, un asa exterior. No hay asa interior insertable en una esfera. Toda asa es siempre un asa exterior. La única diferencia con la primera es esta que está aquí, será la de perfilarse así en un eje sagital en relación a ustedes. mientras que aquí era transversal, dicho de otro modo, al igual que los dos toros precedentes, estar una en relación a la otra en un posición de desplazamiento de un cuarto de vuelta, no de media vuelta como en una traslación que intentaría reproducir su equivalente, sino de cuarto de vuelta, es muy importante porque es irreductible a toda traslación especular. No obstante se mantiene a nivel, a nivel del toro, que algo no aparece tan pronto que nos desliga de las posibilidades particulares que hacen que el volteo —la sustitución del anverso por el reverso e inversamente es algo que reproduce la formación especular—, se podría decir aquí que se encuentra algo que en este cuarto de vuelta haría de la imagen volteada del toro algo que no es realmente que no es fundamentalmente diferente desde el punto de vista topológico y que da aún, de alguna manera, un equivalente especular. Lo repito, es en este desplazamiento de un cuarto de vuelta del que vamos a ver mejor el desplazamiento del todo a las formas topológicas de su familia que ya es algo que separa al toro de toda superficie de homología esférica concerniente a esta relación, a la imagen especular. Vamos a verlo ahora más en detalle, pero para no hacer bajar, si puedo decir vuestra atención, al extenderme sobre lo que hace a la forma general de estos aspectos topológicos que se distinguen de la esfera, voy, a continuación a materializar para ustedes aquello de lo que se trata: se trata de la relación de un calco a su imagen especular. Ustedes no tienen más que remitirse a lo que ya manipulé suficientemente, pienso, frente a ustedes de la superficie de la banda de Moebius, para recordarles a la vez, lo que les dije, y lo que viene de esto hoy en mi explicación. Si la superficie de Moebius se hace juntando los dos extremos de una banda después de una media vuelta y resulta de esto lo que les dije en su momento, una superficie unilátera, ustedes podrán recordar lo que les dije aquí en mi curso ya hace dos años, es, a saber, que para recubrir esta superficie, para hacer su equivalente y su calco, será necesario que ustedes le den dos veces la vuelta. Es decir que, partiendo de un punto o de una línea transversal, que es esta, ustedes llegan, después de un vuelta, a estar en el revés del punto de donde ustedes partieron primero y que es necesario que ustedes den una segunda vuelta para volver a unir nuestro calco a la línea de la cual ustedes partieron. Ustedes tendrán, entonces, un calco, una superficie pegada a la primera, que tendrá diversas propiedades, cuya primera, en principio, es la de ser para nosotros, para hablar rápidamente, dos veces más largar que la primera y, por otra parte, de ser completamente diferentemente de ella desde el punto de vista topológico. Ella no es ni homeomorfa, ni homéotopa. Ella no es homóloga, porque ella en el lugar de unirse a sí misma después de medio giro, una media torsión sobre sí misma ella se unirá a sí misma en una torsión completa, lo que tendrá por efecto presentárselas de manera que yo puedo reproducir cortando, —ya hice este gesto muchas veces— éste por su medio, a saber, algo que se presenta como un doble rizo, el cual esté unido de una manera muy particular que queda por precisar, que es cualquiera, sino de la que ya les dije y mostré que tiene por propiedad ser aplicable sobre la superficie de un toro de una manera que reproduce exactamente el doble rizo y la inclusión del agujero central en el rizo que es exactamente éste. Esta diferencia que hay del calco radical a éste de donde parte, ahí está propiamente aquello sobre lo cual reposa esta distinción que hago, que al hablar del objeto digo que no es especular, siendo precisamente el objeto a, ustedes lo saben de la banda de Moebius lo que la completa y lo que es su soporte, lo que cierra su soporte, lo que cierra la banda de moebius para dar estas superficies completadas a las cuales sin dudas legítimamente los nombres diversos de plano proyectivo, a veces o mejor aún, en el caso donde nosotros la representamos esta construcción que representé muchas veces frente a ustedes bajo esta forma de la que ustedes saben que representa el entrecruzamiento de lo que es la superficie que se infla aquí en la parte inferior de esta tripa, el entrecruzamiento de esa superficie consigo misma que aquí pasa por detrás. Es lo que se llama el cross-cap, la parte superior, o más exactamente, cuando tenemos como en esta figura amputada de la parte esférica inferior o calota, está representado que se llama el cross-cap o, dicho de otro modo, en la mitra, al conjunto de las figuras, si ustedes quieren, llamémosla para esta forma representada la esfera mitrada, lo que da una actualidad singular, si ustedes me permiten un poco de fantasía a las representaciones de Dalí de los obispos muertos sobre la playa de Cadaqués. ¿Qué hay más bello, parece haber adivinado Dalí, que un obispo vuelto estatua, para representar lo que nos importa aquí, a saber el deseo?. Esta propiedad general de un cierto número de funciones topológicas de presentarse con una distinción más o menos aparente, pero de lo que pienso haberlo hecho captar acá, a nivel de la banda de Moebius, el carácter que se impone, mientras que en algunas de las otras formas, más larvado, esto es lo esencial a distinguir y que para nosotros nos dirige hacia lo que, para hablar rápidamente, llamaremos, si ustedes quieren, las formas mentales que son aquellas las cuales debemos acomodar nuestra experiencia, lo que es ahí solamente una aproximación de la cuestión que es ésta: ¿cuál es la relación de esta estructura con el campo de nuestra experiencia?. Alguien se preguntó recientemente si yo entiendo, alguien que no es de nuestro dominio, que es un matemático muy distinguido, del que tengo el honor de ser amigo desde hace algún tiempo y que algunos aquí conocen, al menos por la ligazón que comencé a establecer entre ellos y él, —alguien que no estuvo en absoluto desatento a la salida del primer Cuaderno del círculo epistemológico— me planteó algunas cuestiones sobre tal o cual texto del señor Millner o del señor Miller y se inquietó de alguna manera por aquello de lo que se trataba, si era, a saber, de modelos matemáticos o, incluso, de metáforas. Creí poder responderle que las cosas en mi pensamiento iban más lejos y que las estructuras de las que se tratan tienen derechos a ser consideradas del orden de un hipokeimenon, de un soporte, incluso de una sustancia de lo que constituye nuestro campo. El término, pues, de forma mental es ahí como siempre aproximativo, es inapropiada. No olviden, sin embargo, que aquel que introdujo de manera eminente esta cuestión de la revisión de las formas topológicas como fundamento de la geometría, —Henri Poincaré, para nombrarlo—, y estas publicaciones que comienzan, como ustedes saben, con el Informe de la sociedad de matemáticos de Palermo, entiendan bien que se trata ahí de algo que necesita, en el matemático mismo, de una especie de ejercicio, de ejercicio de auto-ruptura de los marcos intuitivos que le son habituales, que admitía que en estas referencias estaba la fuente de una especie de conversión del ejercicio intuitivo del espíritu, que consideraba no solamente fundamental, sino necesario para la inauguración de esta revisión. Digamos ahora cuales son las formas de las que se trata y cuales son aquellas que nos van a servir. Ella están en número de cuatro, de las que brevemente al uso de aquellos para los que estos término tienen un sentido, diré que el carácter común es que la carácterística llamada de Euler-Poincaré, a quien precisamente acabo de nombrar, es igual a cero. No voy a decirles lo que es esta carácterística de Euler-Poincaré. No obstante voy, de todos modos, a darles una punta, una hojeada, sino para qué nombrarlo. Comencemos primero por enumerar estas cuatro formas que son: el cilindro o el disco agujereado, lo que topológicamente es la misma cosa —ustedes me cambiaran eso inmediatamente después y pondrán otro—, helo aquí, el toro, la banda de Moebius y la botella de Klein. Esas cuatro formas topológicas tienen esta constante de Euler-Poincaré. Para darles la idea de la diferencia que hay entre esta superficie y la de la esfera les recordaré que la esfera —le puse sombras para volverla más bonita—, la esfera y todo lo que le es homólogo, a saber, por ejemplo, todos los poliedros que ustedes conocen que pueden inscribirse ahí, porque cualquiera sea la complicación de estos poliedros son homólogos a una esfera. Si ustedes hacen en el interior de la esfera por ejemplo un tetraedro verán que no es de naturaleza esencialmente diferente, no hay más que soplar en el tetraedro lo bastante fuerte para que se vuelva esférico. Y bien, una de las encarnaciones de esta constante de Euler consiste en tomar, cuando se trata del poliedro el número de sus caras (C),el número de sus aristas (A) y el número de sus vértices (V), y en colocar ahí, alternativamente, el signo más y el signo menos por ejemplo: +C-A+V. Y tenemos para lo que respecta al tetraedro: +4-6+4. Ustedes ven que esto da como resultado la cifra 2. Es precisamente porque si ustedes hacen eso, lo pueden verificar a propósito de cualquier poliedro. Si les puse el más simple es para no cansarlos; si ustedes toman un dodecaedro el resultado será el mismo. Pero si ustedes hacen un poliedro cualquiera que esté inscripto en un toro, ustedes verificarán fácilmente que al hacerla misma operación, a saber, la adición de las caras con los vértices y la sustracción de las aristas, ustedes tendrán: 0. Ahora —cambien todo eso—, ¿cuál es el uso que podemos hacer de estos cuatro elementos topológicos, respectivamente el cilindro, el toro, la banda de Moebius y la botella de Klein?. Ahí vamos a llegar ahora y al hablarles sobre este uso es necesario, primero que ponga el acento sobre ciertas propiedades, el uso vendrá después, imposible meterles en la cabeza, si puedo decir inmediatamente, el valor operatorio en tal o cual de mis referencias, imposible darles la traslación, la traducción inmediatamente, si primero no pongo en valor lo que la distingue una de la otra y lo que les da estas preciosas propiedades, que no son otras —se los repito— que las propiedades mismas de nuestro campo, que vemos aquí en razón del hecho de que estas figuras no son lo que fuera que ustedes pudieran legítimamente traducir por aquellas mediante lo cual me ven, no obstante, forzado a representarlas, a saber, mediante algo que se intuye, sino mediante algo que en todo su rigor no se articula sino por referencia simbólica y por una formulación que no se soporta sino del uso más o menos elaborado y combinado de lo que llamaré letras, en la medida en que una teoría de los conjuntos podría llevarlos aquí a este capítulo particular de la topología que nos interesa en este caso —podríamos desarrollárselos enteramente en el pizarrón— bajo la forma de una serie de fórmulas que no se distinguirían a la vista de ustedes del uso común de la fórmulas algebraicas y que eso sería, evidentemente, un encamina—miento mucho más seguro para el uso que podríamos hacer de esto. Dicho de otro modo, importa, en lo concerniente a esta superficie, que ustedes hagan la distinción en su espíritu de lo que respecta a la superficie local y a la superficie global. Es por la consecuencia de vuestra captura por lo que se llama la intuición, dicho de otro modo lo imaginario, que ustedes pensaban estas superficies locales, es decir que ustedes no podían despegar en la intuición de una porción cualquiera de esta superficie de lo que implica el hecho de que una superficie local pueda formar parte de un plano indefinido o de una esfera lo que es equivalente topológicamente. Pero toda parcela de una superficie global, como está definida aquí, topológicamente, debe concebirse como portadora esencialmente de las propiedades de la superficie global. Es por eso, por ejemplo, que no nos interesa en absoluto considerar en el toro uno de estos pequeños fragmentos por ejemplo, que llamaremos disco en este caso, que puede reducirse a un punto. Esto no tiene nada que ver topológicamente con el toro, porque lo que distingue el toro de la esfera, donde la misma cosa se produce sobre el plano es que hay en el toro circuito cerrado exacta y aparentemente equivalentes a aquel que definimos acá al principio del que ustedes ven bien que se distingue radicalmente del primero. Primero, en esto que no recorta nada de la superficie del toro, la abre simplemente, la transforma en un cilindro, y, por otra parte, que no puede, de ninguna manera, reducirse a un punto, ya que el agujero central del toro es lo que detendría, si puedo decir así, su encogimiento. Sobre el toro ustedes ven bien que existen dos tipos de circuitos cerrados de esta especie, que es el otro. Y ustedes reconocen aquí, entonces, las dos formas de corte que en un principio pedí que me siguieran por hipótesis, conviniendo en adherir a uno la connotación de uno de estos cortes significantes, que podríamos considerar como representando a la demanda a condición de que nos demos cuenta de lo que implica la repetición de este ciclo cuando no se cierra y cómo para cerrarse debe pasar obligatoriamente por el circuito de la otra especie, que, por este hecho, nos damos cuenta de poder particularmente simbolizar con facilidad este hecho que para nosotros es que la demanda resulta soportar en relación a lo que les enseñé, a considerar como su consecuencia, a saber, la dimensión del deseo. Ella no podría soportarlo como tal sino por repetirse, lo que al mismo tiempo, nos sugiere alguna originalidad especial de este término de repetición, a saber que no es, de alguna manera una dimensión vana que en sí misma la repetición desarrolla algo que tiene para nosotros todo el interés para ilustrar de esta manera. En efecto para retomar a Poincaré, es él quien introdujo la fábula, si se puede decir filosófica, la idea de estos seres infinitamente planos que podían subsistir sobre las superficies topológicas que él puso en circulación. Estos seres infinitamente planos tienen un valor, tienen un valor que es el de hacernos otra vez esto, a saber, lo que pueden y no pueden saber. Está claro que si suponemos una topología, una estructura, que es ella misma de superficie, habitadas por seres infinitamente planos, no es ciertamente para referirnos a nosotros mismos a lo que ustedes ven forzosamente aquí representado, a saber, la inmersión en el espacio de las llamadas formas topológicas, para lo que subsiste al nivel de esta estructura topológica, lo que yo llamo así de paso, y pidiendo disculpas, el agujero central es absolutamente imposible de percibir. Por el contrario, lo que es posible de percibir es la coherencia de los rizos, tales como acabo de dibujarlos. Es, igualmente, perfectamente posible en el interior mismo del sistema de darse cuenta de que una especie de rizo que voy a representarles ahora, si ustedes quieren, para economizar sobre la misma figura, este que reúne en uno sólo las dos especies de circuitos cerrados que para nosotros, que nos sumergimos en el espacio, porque somos, al menos provisoriamente, bastante poco firmes para encontrar un socorro ahí, a la vez, alrededor de lo que llamaré —porqué detenernos ya que estamos en el compromiso— el agujero interior y el agujero exterior. Este rizo que se llama —porque es él quien lo descubrió—, un círculo de Bilarzo, él descubrió esto mucho antes de que se haga topología, lo descubrió a propósito de propiedades métricas sobre las cuales no insistiré. Se entretuvo en descubrir que esta especie de rizo a condición de determinarlo mediante una operación bien elegida, podía ser en un toro por la rotación regular de su círculo regular, que ese rizo mismo podía ser circular. Es muy fácil darse cuenta de esto, bastante practicar sobre un toro un corte mediante un corte bitangente, lo que en corte se representa así. 
Esto ya es una primera aproximación. Habría cierta apreciación topológica en esta apreciación de Bilarzo. No hago alusión a esto sino para hacerles notar que incluso un ser infinitamente plano en la superficie del toro puede darse cuenta de que hay dos series de estos círculos de Bilarzo. Estas aquellos que van en este sentido y luego están aquellos que va en sentido contrario y que tienen como propiedad cortar a todos los primeros. Por supuesto, ustedes ven que se puede hacer toda un serie dando toda la vuelta al toro que no se recorta. Esto para mostrarles la elaboración posible, el material que ponen a nuestro alcance estas estructuras para algo que no es nada menos que la articulación coherente de lo que se nos plantea como problema respecto por ejemplo de una realidad como el fantasma. Insistí en el comienzo de mi enseñanza sobre la función imaginaria que siendo lo que soporta radicalmente la identificación narcisista, la relación microcosmos—macrocosmos, todo lo que sirvió de presente de módulo a la cosmología como a la psicología. Construí un grafo para mostrarles en otro estado y en otra referencia a la combinatoria simbólica, algo que es también una forma de identificación, lo que hace al deseo soportarse en el fantasma. El fantasma lo simbolicé mediante la fórmula:S(a corte, si ustedes quieren, de a . ¿Qué es este a ?. ¿Es algo equivalente a i(a), imagen especular, aquello de lo que se soporta, como Freud lo articula expresamente, esta serie de identificaciones envolviéndose una a la otra, adicionándose, concretizándose a la manera de las capas de una perla en el curso del desarrollo que se llama el yo?. ¿No es el a sino otra función de lo imaginario?. Algo debe, de todos modos, ponerlos en sospecha de que no es nada de eso, si adelanto desde siempre que el a no tiene imagen especular. ¿Pero que es?. Para que descansen porque pienso, después de todo, todo esto es muy árido, les diré que una fábula, un modelo, un apólogo me vino al espíritu, precisamente en el tiempo de mis conferencias en los Estados Unidos de Norteamérica, pero del que les reservé la primicia. Es decir que la palabra que me vino al espíritu para hacerles captar dónde está el problema, esta palabra no la puse en circulación. Lo puse tanto menos en circulación cuando que no creo que no tenga traducción en inglés. Pero en fin, les di, al menos, una pequeña idea de esto. Empleé el término: frame o framino. Hay una palabra mucho más bella en francés, es una palabra que tiene su valor sobre la escena del teatro es la palabra practicable. Después de todo, quizás alguno de entre ustedes recuerde la manera en la que hable del fantasma en alguna de nuestras jornadas provinciales, cuando hace referencia ahí a un juego que no es, en absoluto de azar del pintor Magritte, que lo repitió en sus cuadros muy frecuentemente, a saber representar la imagen que resulta de ubicarla en el marco mismo de una ventana, de un cuadro que representa exactamente el paisaje que hay detrás. A aquellos mi introducción del practicable no aportará nada nuevo en la medida en que es poner un poquito más el acento y los puntos sobres la íes. Cual es el fruto de la presencia del practicable sobre la escena del teatro sino, desde una cierta distancia, ser para nosotros trompe-l’oeil, introducir una perspectiva, un juego, una captura, de la que se puede decir que participa de todo lo que concierne, en el dominio de lo visual, al orden de la ilusión y lo imaginario. Sin embargo si ustedes pasan detrás del practicable ya no hay manera de engañarse, y no obstante, el practicable esta siempre ahí, no es imaginario, el bastidor existe. Ahí está precisamente, aquello de lo que se trata. Es necesario haber llevado las cosas bastante lejos, y muy precisamente en un análisis, para llegar al punto donde tocamos en el fantasma el objeto a como el bastidor. La función del fantasma en la economía del sujeto no es en este menos soportar el deseo en su función ilusoria. El no es ilusorio. Es por su función ilusoria que sostiene al deseo. El deseo se cautiva de esta división del sujeto en tanto que es causada por el bastidor del fantasma. ¿Qué quiere decir?. ¿Quiere decir que podríamos contentarnos con decir que, como en el teatro no hay más que hacer su entrada entre bambalinas para ir a visitar el practicable y tener la última palabra?. Es muy evidente que no es de eso de lo que se trata, y que como los seres infinitamente planos que habitan este cuerpo, no es por desplazarnos sobre la superficie del toro que tendremos nunca la idea de lo que está ahí bajo la forma de agujero y que, según toda apariencia, debe tener algo que ver con este objeto a , ya que es de su existencia que depende la distinción de estos dos rizos D que se hacen alrededor de esta torsión externa con aquel que los reúne al franquear este agujero. Es acá que el uso de las otras superficies topológicas, cuya función les anuncié, puede sernos de algún servicio. No tengo necesidad, pienso, de perorar largamente sobre lo que puede describirse a nivel del plano proyectivo cuando es particularmente fácil y yo lo hice muchas veces, representarlo aquí mediante lo que llamé hace un rato impropiamente el cross—cap, porque este impropio nos permite la observación, —continuamos llamándolo así, no me gusta mucho la esfera mitrada—, y darnos cuenta de que un corte que de una manera muy sorprendente tiene la misma estructura de doble rizo que nos permite, a nivel del toro, poner en evidencia la dependencia del agujero central, incluso para los seres que la habitan, mientras que les hago notar que ella está a nivel del simple corte del círculo de Bilarzo, perfectamente indiscernible, que este doble rizo tiene acá por efecto, pienso haberlo descrito suficiente veces frente a ustedes para que lo recuerden, separar las superficies contrariamente con lo que sucede con el doble rizo cuando esta hecho sobre el toro, el toro queda en un sólo pedazo. Pero aquí tenemos, en el centro, esta superficie de lo que podemos llamar un falso disco, si ustedes quieren, pero que es, de todos modos, aunque no lo parezca, un disco del que ustedes saben desde mucho tiempo que lo tomo como soporte o, incluso, armazón y, finalmente, causa de la ilusión del deseo, dicho de otro modo como equivalente al objeto a, siendo la otra parte del cross-cap, esto es muy fácil de poner en evidencia, lo hice antes, en esa época lejana, en el 1962, mediante dibujos que algunos todavía recuerdan, extraordinariamente refinados, pero de los que, verdaderamente, estaría un poco acá cansado de reproducirles en detalle, no tendrían sino un interés, es en alguna de las transformaciones que consisten en desplegar el repliegue que se encuentra acá y también en reducirlo acá para darse cuenta que la otra parte, llamémosla la parte B y ésta, que la otra parte es una banda de Moebius. Durante el despliegue ustedes pueden hacer aparecer sobre estas figuras todas las ilusiones más encantadoras o arrebatadoras. Comparen eso con la forma de caracol, de la oreja, de un corte mediano, que muestra las involuciones de las formas exteriores del cerebro, también de cualquier otra cosa, a saber, de un corte de las envolturas embrionarias. Esto no tiene sino un valor sugestivo y quizás no solamente sin indicarnos que algo de esas formaciones enroscadas están inscritas por todos lados en el interior del organismo. Pero entonces, ¿es que no podemos plantearnos la cuestión de saber si no encontramos acá confirmación de lo que buscamos en lo que concierne a lo que llamé aproximadamente el agujero central del toro?. Una confirmación de esta indicación de que a nivel del toro y la cosa tendrá su importancia si somos llevados, por ejemplo, a simbolizar el funcionamiento en calco de los dos toros de una manera tal que nos sirvan para representar, por ejemplo, una relación específica de la neurosis, la que liga el deseo del sujeto a la demanda del Otro. Esta sugestión de que acá el agujero, a saber, algo inasible es lo que representa el lugar del objeto a . ¿Es que al encontrarlo en su soporte al nivel de otra superficie, como la del cross-cap, no vemos ahí una sugestión que puede ser preciosa desde el punto de vista operatorio?. Algo nos lo confirma. Es, a saber, esto: un guante está hecho por la costura de los dos bordes, de los dos agujeros que constituyen los límites de un cilindro o de un jade agujereado, como ustedes quieran, porque no es porque sí que algo como los jades agujereados se haga desde hace mucho tiempo, por supuesto, ya no sabemos lo que eso quiere decir, pero es bastante probable que aquellos que se tomaron bastante trabajo en el origen para hacerlo sabían que eso podía servir para algo, no hay tantas formas agujereadas como eso y no es por nada que el grabado chino manifieste netamente en cosas sus proposiciones y sus asociaciones que estas formas de piedra agujereadas que nos muestran con superabundancia están siempre ligadas a temas eróticos. Paréntesis. ¿Cómo está constituído un plano proyectivo?. La forma rigurosa se las doy de entrada para mostrarles en que cruzamiento se la encuentra y cómo se la construye. Pero es ella la que es, a la vez, la más esencial, quiero decir en un representación topológica muy habitualmente recibida válida y fundamental. Es esta: partan de un figura que está hecha como la otra, ustedes ven de los dos círculos que hacen borde en el cilindro e identifican cada punto de uno de estos círculos con el punto diametralmente opuesto de otro. En otros términos, lo que en la banda de Moebius se representa así, a saber, que es torciéndola media vuelta que es al ir a aplicar esta flecha en su sentido, por supuesto, acomodándola, con la otra flecha que está en el sentido opuesto, que ustedes obtienen una banda de Moebius. Y bien, esta operación, háganla con los límites circulares. Ustedes tendrán lo que acá va, en este sentido, a pegarse aquí en este sentido. Es fácil ver que en semejante topología, que es la del proyectivo, el disco central, aunque eso no sea evidente a la intuición, pero cuando se los represento así ustedes lo ven inmediatamente, el disco central no es un agujero, sino que forma parte de la superficie. Es por esto que en un plano proyectivo, se dice, no les enseño, no se, eso puede sorprenderlos, pero remítanse los manuales de topología, van a ver ahí lo que es considerado como fundamental, esto de que el plano proyectivo está compuesto de dos partes, a saber de un disco central y de algo que lo rodea que tiene la estructura de un banda de Moebius, que considero suficientemente ilustrado por esta figura, salvo esto, que este disco central, ya que es un verdadero disco, es perfectamente evanescente, a saber, que es igualmente verdadero que el plano proyectivo, ya se lo que les dibujé ahí, ahora, a saber, simplemente una superficie tal que cada de sus puntos sea idéntico al punto diametralmente opuesto. Es necesario que el disco central aparezca, puede reducirse a no ser nada, en lo que se demuestra su propiedad inminente para representar tal dimensión del objeto y muy especialmente la mirada, por ejemplo, cuya propiedad de objeto y de trampa consiste precisamente en esto de que se puede ser totalmente elidida. No puedo dejarlos sin hacerles notar precisamente esto que pienso haber ya suficientemente adelantado frente a ustedes para no tener sino que hacer alusión a eso, es que gracias al corte en ocho invertido, al doble rizo, el recorte del toro que, se los repito, se mantiene de una sola pieza, está echo de una manera tal que a condición de una costura apropiada, ustedes lo hacen muy fácilmente, y no se trata ahí de una cuestión material, manipulatorio, aunque lo sea, no es en absoluto, incorpórea —ustedes pueden muy fácilmente, al toro abierto así por el doble rizo precediendo, es muy fácil, pienso que ustedes lo conciben, ya que les digo que la superficie de Moebius cortada por el medio viene a aplicarse sobre el toro inversamente, si el corte del toro representa, precisamente lo que aísla esta superficie de doble rizo, ustedes hacen de esto muy fácilmente una banda de Moebius. Ahí está el lazo topológico que nos da la idea de la transformación posible de lo que sucede en la superficie del toro, en lo que debe suceder sobre una superficie de Moebius, si queremos que pueda surgir de esto la función del objeto a. sin embargo este objeto a, permaneciendo todavía ahí tan huidizo, problemático, en todo caso, tan accesible a la desaparición, quizás no esté ahí, lo que es suficiente. Es lo que hará que una vez más los deje en un suspenso y les mostraré como la botella de Klein resuelve este atolladero.
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