He anunciado que continuaría hoy hablando sobre el falo. Y bien, no lo haré sino bajo esta forma de ocho invertido que no es en absoluto tranquilizante.
No es de un nuevo significante que se trata. Ustedes lo verán. Es siempre del mismo que hablo desde el comienzo de este año; sólo que lo promuevo como esencial para renovarlo con la base topológica de que se trata: a saber, lo que quiere decir la introducción hecha este año del toro.
No es del todo seguro que lo dicho sobre la angustia haya sido bien entendido. Alguien muy simpático y que lee -porque es alguien de un medio donde se trabaja- me ha señalado muy oportunamente -debo decir que elegí este ejemplo porque es reconfortante- que lo que dije sobre la angustia como deseo del Otro recubría lo que se encuentra en Kierkegaard. En una primera lectura -pues es absolutamente cierto- ustedes saben que he recordado que Kierkegaard para hablar de la angustia evoca a la jovencita en el momento en que percibe por primera vez que se la desea. Sólo que si Kierkegaard lo ha dicho, la diferencia con lo que yo digo es, si puedo decir, para emplear un término kierkegardiano, que yo lo repito.
Si hay alguien que ha señalado que no es nunca por nada que se dice «lo digo y lo repito» es justamente Kierkegaard. Si se prueba la necesidad de subrayar que se lo repite después de haberlo dicho, es porque probablemente no es lo mismo repetirlo que decirlo; y es absolutamente cierto que, si lo que he dicho la última vez tiene un sentido, es que justamente en el caso subrayado por Kierkegaard es algo absolutamente particular y como tal oscurece lejos de aclarar el verdadero sentido de la fórmula de que la angustia es el deseo del Otro con O mayúscula.
Puede que ese Otro se encarne para la jovencita en un momento de su existencia en cierto vagabundo. Lo que no tiene nada que ver con la cuestión que he formulado la última vez y con la introducción del deseo del Otro como tal para decir qué es la angustia, más exactamente que la angustia es la sensación de ese deseo.
Hoy voy a retomar mi camino de este año, y más rigurosamente de lo que podido hacer en la excursión de la última vez. Es por lo que, más rigurosamente que nunca, vamos a hacer topología, y esto es necesario porque ustedes no pueden dejar de hacerlo en todo momento, quiero decir sean ustedes lógicos o no, conozcan incluso el sentido del término topología o no, Ustedes se sirven por ejemplo de la conjunción o. Ahora, es bastante remarcable pero seguramente cierto que el uso de esta conjunción no ha sido en el campo de la lógica técnica, de la lógica de los lógicos, bien articulada,. bien precisada, bien puesta en evidencia sino en una época bastante reciente,. demasiado reciente como para que en suma sus efectos los hayan verdaderamente alcanzado; y es por esto que basta leer el menor texto analítico corriente, por ejemplo, para ver que cada instante el pensamiento tropieza desde que se trata del término de identificación, sino incluso de la simple práctica de identificar lo que sea del campo de nuestra experiencia.
Hay que repartir los esquemas a pesar de todo, digámoslo, firmes en vuestro pensamiento, por dos razones: en primer lugar porque resultan de lo que llamaré una cierta incapacidad propia del pensamiento intuitivo o más simplemente de la intuición, lo que quiere decir algo que esta en las bases mismas de una experiencia marcada por la organización de lo que se llama el sentido visual. Percibirán muy fácilmente esta impotencia intuitiva, si tengo la dicha de que luego de esta pequeña charla se pongan a plantearse simples problemas de representación sobre lo que voy a mostrarles puede pasar en la superficie de un toro. Verán que vale la pena no embarullarse. Es bien simple un toro: un anillo. Ustedes se embrollarán, yo me embrollo como ustedes: he necesitado taco del ejercicio para hallarme un poco e incluso percibir lo que eso sugería y permitía fundar prácticamente.
El otro término está ligado a lo que se llama instrucción, a saber que a esta suerte de impotencia intuitiva, se hace todo para fomentarla, para establecerla, para darle un carácter de absoluto, esto Seguramente con las mejores intenciones. Es lo que sucede por ejemplo cuando en 1741 Euler, un gran nombre en la historia de las matemáticas, introduce sus famosos círculos que, lo sepan o no, ha hecho mucho para fomentar la enseñanza de la lógica clásica en un cierto sentido que, lejos de abrirla, no podía sino volver peligrosamente evidente la idea que podían hacerse de ésta los simples escolares.
La cosa se produce porque a Euler se le había metido en la cabeza, Dios sabe porqué, enseñar a una princesa, la princesa de Anhalt Dessau. Durante todo un período se han ocupado mucho de las princesas, se ocupan todavía, y es irritante. Ustedes saben que Descartes tenía la suya: la famosa Cristina. Es una figura histórica de distinto relieve, acabó con esto. Eso no es absolutamente subjetivo, hay una especie de hediondez muy particular que se desprende de todo lo que rodea la entidad princesa o Prinzessin. Hemos tenido durante un período de aproximadamente tres siglos algo que está dominado por las cartas dirigidas a princesas, memorias de princesas, y esto tiene un lugar determinado en la cultura. Es una suerte de reemplazo de esta Dama cuya función, tan difícil de comprender, tan difícil de aproximar, he intentado explicar en la estructura de la sublimación cortés, de la que no estoy seguro después de todo, de haberles hecho percibir cual es su verdadero alcance. No he podido Verdaderamente darles sino especies de proyecciónes de cómo se intenta figurar en otro espacio figuras de cuatro dimensiones que no se pueden obtener.
Me enteré con placer de que algo de esto ha llegado a orejas vecinas y que se empiezan a interesar, en otras partes que aquí, en lo que podría ser el amor cortés. Es ya un resultado.
Dejemos a la princesa y los trastornos que haya podido ocasionar a Euler. El le escribió 254 cartas, no sólo para hacerle comprender sus círculos. Publicadas en 1775 en Londres, constituyen una suerte de corpus del pensamiento científico en esta fecha. El no ha sobrevivido efectivamente sino a esos pequeños círculos, esos círculos de Euler que son círculos como todos los círculos; se trata simplemente de ver el uso que hace de ellos. Eran para explicar las reglas del silogismo y finalmente la inclusión, la exclusión, y lo que puede llamarse, ¿el recorte de dos qué? de dos campos aplicables ¿a qué? a muchas cosas, por ejemplo el campo donde una cierta proposición es verdadera, aplicable al campo donde una cierta relación existe, aplicables muy simplemente al campo donde un objeto existe.
Ven que el uso del círculo de Euler, si están habituados a la multiplicidad de las lógicas tal como han sido elaboradas en un inmenso esfuerzo cuya mayor parte se sostiene en la lógica proposicional, relaciónal, y la lógica de clases, ha sido distinguido de la manera más útil. No puedo siquiera pensar en entrar seguramente en los detalles que requerirla dar a la distinción de estas elaboraciones. Lo que quiero simplemente hacer aquí reconocer es que ustedes han recordado seguramente de tal o cual momento de vuestra existencia al que han llegado bajo esta especie de soporte, una demostración lógica cual quiera de cierto objeto como objeto lógico, se trate de proposición relación, clase, o aún simplemente objeto de existencia.
Tomemos un ejemplo a nivel de la lógica de clases y representemos por ejemplo con un pequeño circulo en el interior de uno mayor a los mamíferos en relación a la clase de los vertebrados; esto va de suyo, y tanto más simplemente como que la lógica de clases es ciertamente la que al comienzo ha facilitado el camino de la manera más cómoda a esta elaboración formal, y que se refiere ahí a algo ya encarnado en una elaboración significante, aquella de la clasificación zoológica, que muy simple y verdaderamente da de esto el modelo. Pero el universo del discurso, como se expresa a justo titulo, no es un universo zoológico; y de querer extender las propiedades del universo de la clasificación zoológica a todo el universo del discurso, uno se desliza fácilmente en un cierto número de trampas que les evitan las faltas y dejan demasiado pronto escuchar la señal de alarma del impasse significativo.
Uno de estos inconvenientes es por ejemplo un uso inconsiderado de la negación. Es justamente en una época reciente que este uso se he encontrado abierto como posible, a saber hasta en la época en que se observó que en el uso de la negación ese círculo de Euler exterior de la inclusión debía jugar un rol esencial, a saber que no es absolutamente la misma cosa hablar sin ninguna precisión por ejemplo de lo que es no-hombre o de lo que es no-hombre en el interior de los animales. En otros términos, que para que la negación tenga un sentido aproximadamente seguro, utilizable en lógica, es necesario saber por relación a qué conjunto algo es negado. En otros términos si A’ es no A, es necesario saber en qué es no A, a saber aquí en B.
La negación, si abren para esto Aristóteles, arrastra toda clase de dificultades. No es sin embargo cuestionable que no se haya atendido de ninguna manera a estas observaciones, ni se haya hecho el menor uso de este soporte formal. Quiero decir que no es normal hacer uso de esto para servirse de la negación, a saber que el sujeto en su discurso hace frecuentemente uso de la negación en casos donde no hay la menor posibilidad de asegurarlo sobre esta base formal; de donde la utilidad de las observaciones que les hago sobre la negación distinguiendo la negación a nivel de la enunciación o como constitutiva de la negación a nivel del enunciado.
Esto quiere decir que las leyes de la negación, justamente en el punto en que ellas no están aseguradas por esta introducción absoluta mente decisiva y que data de la distinción reciente de la lógica de relaciones con la lógica de clases, están en suma para nosotros absolutamente en otra parte que ahí donde ha encontrado su asiento, -que vamos a definir el estatuto de la negación.
Es un llamado destinado a aclararles respectivamente la importancia de lo que a partir del comienzo del discurso de este año les he sugerido en lo concerniente a la originalidad primordial en relación a esta distinción de la función de la negación.
Ven entonces que esos círculos de Euler, no es Euler quien se ha servido de ellos a este fin; fue necesario que se introdujera la obra de Boole, luego la de De Morgan, para que esto fuera plenamente articulado.
Si vuelvo a estos círculos de Euler, no es que él mismo haya hecho un buen uso de esto, pero es con su material, con el uso de esos círculos que han podido ser hechos los progresos que siguieron y de los que les doy a la vez uno de aquéllos que no es el menor ni el menos notorio, en todo caso particularmente sorprendente, inmediato de ser sentido.
Entre Euler y De Morgan el uso de esos círculos ha permitido una simbolización que es también útil que les parezca por añadidura implícitamente fundamental, que se apoya sobre la posición de esos círculos que se estructuran así: es lo que llamaremos dos círculos que se recortan, que son especialmente importantes por su aspecto intuitivo que parecerá a todos inobjetable si les hago observar que es en torno de esos círculos que pueden articularse en primer lugar dos relaciones que conviene acentuar, la de la reunión: que se trate de lo que se trate su reunión, el hecho es que después de la operación de reunión, lo que esta unificado son esos dos campos.
La operación llamada de reunión que se simboliza ordinariamente así U es precisamente la que ha introducido ese símbolo, es, ustedes lo ven, algo no enteramente parecido a la adición, y esos círculos tienen la ventaja de hacerlo sentir. No es lo mismo adicionar por ejemplo dos círculos separados que reunirlos en esta posición.
Hay otra relación ilustrada por esos círculos que se recortan la de la intersección, simbolizada por este signo cuya significación es completamente diferente ∩. El campo de intersección está comprendido en el campo de reunión.
reunión U
intersección ∩
En lo que se llama el álgebra de Boole se muestra que, hasta un cierto punto al menos, esta operación de reunión es bastante análoga la adición como para que la podamos simbolizar por el signo de la adición (+). Se muestra igualmente que la intersección es estructuralmente bastante análoga a la multiplicación como para que se la pueda simbolizar por el signo de la multiplicación.
Les aseguro que hago un resumen ultra rápido destinado a llevarlo ah! donde debo llevarlos, y me excuso ante aquéllos para quienes las cosas se presentan en toda su complejidad respecto de las elisiones que esto comporta. Pues es necesario que vayamos más lejos y sobre el punto preciso que debo introducir, -lo que nos interesa es algo que hasta De Morgan -y uno puede sorprenderse de semejante omisión- no había sido, hablando con propiedad, puesto en evidencia como justamente una de esas funciones que derivan, que debieran deducirse de un uso absolutamente riguroso de la lógica, precisamente ese campo constituido por la extracción, en relación de esos dos círculos, de la zona de intersección.
Y considerar lo que es el producto, cuando dos círculos se recortan a nivel del campo así definido; es decir la reunión menos la intersección, es lo que se llama la diferencia simétrica.
Esta diferencia simétrica es lo que va a retenernos, lo que para nosotros -ustedes verán porqué- es del mayor interés. El término diferencia simétrica es aquí una apelación que les ruego simplemente tomar por su uso adicional. Es así como se la ha denominado. No intenten dar un sentido analizable gramaticalmente a ésta, digamos, simetría. La diferencia simétrica, es esto lo que ésta quiere decir: esos campos en los dos círculos de Euler, en tanto que definen como tal un «o» de exclusión. En lo concerniente a dos campos diferentes, la diferencia simétrica marca el campo tal como está construido si ustedes dan al »o» no el sentido alternativo, sino que implica la posibilidad de una identidad local entre los dos términos; y el uso corriente del término «o» hace que de hecho el termino «o» se aplique aquí muy bien al campo de la reunión. Si una cosa es A o B es así que el campo de su extensión puede dibujarse, a saber bajo la forma primera en que esos dos campos son descubiertos.
Si por el contrario es exclusivo A o B, a saber que el campo de intersección está excluido.
Esto debe llevarnos a volver a una reflexión concerniente a lo que supone intuitivamente el uso del circulo como base, como soporte de algo que se formaliza en función de un límite. Esto se define muy suficientemente en el hecho de que sobre un plano de uso corriente, -lo que no quiere decir un plano natural-, un plano fabricable, un plano que ha entrado absolutamente en nuestro universo de lo útil, a saber una hoja de papel, -vivimos mucho más en compañía de hojas de papel que en compañía de toros, debe haber razones para esto, pero en fin, razones que no son evidentes, ¿porqué el hombre no fabricaría más toros? Por otro lado durante siglos, lo que tenemos actualmente bajo la forma de hojas eran rollos que debían ser más familiares a la noción de volumen en otras épocas que la nuestra. Finalmente, hay ciertamente una razón pera que esta superficie plana sea algo que nos basta y más exactamente de la que nos bastamos. Esas razones deben estar en alguna parte. Y lo he indicado hace un rato -no se podría sino acordar importancia al hecho de que contrariamente a todos los esfuerzos de los físicos como de los filósofos para persuadirnos de lo contrario, el campo visual, se diga lo que se diga, es esencialmente de dos dimensiones: sobre una hoja de papel, sobre una superficie prácticamente simple, un circulo dibujado delimita de la manera más clara un interior y un exterior. He aquí todo el secreto, todo el misterio, el resorte simple del uso que se hace de esto en la ilustración euleriana de la lógica.
Les planteo la siguiente preguntas qué sucedería si Euler, en lugar de dibujar ese circulo, dibujara mi ocho invertido, éste con el que hoy voy a entretenerlos?
En apariencia no es sino un caso particular de circulo con el campo exterior que él define y la posibilidad de tener otro circulo en el interior. Simplemente, el círculo interior toca -es esto lo que en una primera impresión algunos podrían decirme- el limite constituido por el círculo exterior. Sólo que sin embargo no es exactamente eso, en el sentido de que está bien claro, en la manera con que lo dibujo, que la línea del circulo exterior se continúa en la línea del círculo interior para volver a encontrarse ahí.
Y entonces, para marcar simplemente enseguida el interés, el alcance de esta forma muy simple, les sugeriría que las observaciones que introduje en un cierto punto de mi seminario cuando introduje la función del significante, consistian en esto: en recordarles la paradoja o pretendida paradoja introducida por la clasificación de los conjuntos que se no comprenden a sí mismos. Les recuerdo las dificultades que introducen: ¿debemos incluirlos o no, a estos conjuntos que no se comprenden a sí mismos, dentro del conjunto de los conjuntos que no se comprenden a sí mismos? Ven ahí la dificultad. Si los incluimos, entonces, se comprenden a sí mismos en este conjunto de los conjuntos que no se comprenden a sí mismos. Si no, nos encontramos ante un impasse análogo.
E
E : conjuntos que se comprenden a sí mismos
E
E : conjuntos que no se comprenden a sí mismos
Esto está fácilmente resuelto con la simple condición de que se perciba al menos esto -es la solución que han dado por otra parte los formalistas, los lógicos-, que no se puede hablar de la misma manera, digamos, de conjuntos que se comprenden a sí mismos, y de conjuntos que no se comprenden a sí mismos. Dicho de otro modo, se loe excluye como tales de la definición simple de los conjuntos, se plantea finalmente que los conjuntos que se comprenden a sí mismos no pueden ser planteados como conjuntos.
Quiero decir, que lejos de que esta zona interior de objetos tan considerables en la construcción de la lógica moderna como los conjuntos, lejos de que una zona interior definida por esta imagen del ocho invertido por el recubrimiento o el redoblamiento en ese recubrimiento de una clase, de una relación, de una proposición cualquiera por si misma, su alcance a la segunda potencia, lejos de que esto cede en un caso notorio la clase, la proposición, la relación de un modo general, la categoría en el interior de sí misma de una manera en cierta forma más pesada, más acentuada, esto tiene por efecto reducirla a la homogeneidad con lo que está en el exterior.
¿Cómo es esto concebible? Pues finalmente debemos sin embargo decir que, si es así como la cuestión se presenta, a saber entre todos los con juntos un conjunto que se recubre él mismo, no hay ninguna razón a priori para no hacer de esto un conjunto como los otros. Ustedes definen como conjunto por ejemplo todas las obras que conciernen a lo que se refiere a las humanidades, es decir atlas artes, a las ciencias, a la etnografía. Hacen una lista: las obras hechas sobre la cuestión de lo que se debe clasificar como humanidades formarán parte del mismo catálogo, es decir que a que vengo incluso de definir ahora articulando el titulo: las obras concernientes a las humanidades’ forma parte de lo que hay que catalogar.
¿Cómo podemos concebir que algo que se plantea así como redoblándose a sí mismo en la dignidad de una oferta categoría pueda encontrarse llevándonos prácticamente a una antinomias, a un impasse lógico tal que nos veamos obligados a rechazarla? Tienen aquí algo que no carece de importancia en tanto hemos visto prácticamente a los mejores lógicos ver ahí una suerte de fracaso, de punto limite, de punto de vacilación de todo el edificio formalista, y no sin razón. Tenemos aquí por tanto lo que hace a la intuición una suerte de objeción mayor, enteramente inscrita, visible, sensible en la forma misma de esos dos círculos que se presentan, en la perspectiva euleriana, como incluido uno en relación al otro.
Es justamente ahí que vamos a ver que el uso de la intuición de representación del toro es enteramente utilizable. Y, otorgándoles que ustedes perciben bien, imagino, esto de lo que se trata, a saber, de una cierta relación del significante a sí mismo, se los he dicho, es en la medida en que la definición de un conjunto se ha aproximado de más en más a una articulación puramente signficante que ha llevado a este impasse, -ésta es toda la cuestión, por el hecho de que se trata para nosotros de poner en primer plano que un significante no podría significarse a sí mismo. De hecho es algo excesivamente tonto y simple ese punto tan esencial de que el significante en tanto puede servir para significarse a sí mismo debe plantearse como diferente de el mismo. Es esto lo que se trata de simbolizar en primer lugar, en tanto es también esto lo que vamos a encontrar, hasta un cierto punto de extensión que se trata de determinar, en toda la estructura subjetiva hasta y comprendido el deseo.
Cuando uno de mis obsesivos, muy recientemente todavía después de haber desarrollado todo el refinamiento de la ciencia en sus ejercicios respecto de los objetos femeninos a los cuales, como es común en los otros obsesivos, si puedo decir, permanece ligado por lo que se puede llamar una infidelidad constante: a la vez imposibilidad de abandonar ninguno de sus objetos y extrema dificultad de mantenerlos todos juntos y que agrega que es evidente qué en esta relación, en esa relación tan complicada que requiere tan alto refinamiento técnico, si puedo decir, en el mantenimiento de relaciones que en principio deben permanecer exteriores las unas a las otras, impermeables las unas a las otras, y por lo tanto ligadas, que, si todo esto, me dice, no tiene otro fin que dejarlo intacto para una satisfacción con la que él mismo tropieza, ella debe entonces encontrarse en otra parte, no sólo en un futuro siempre distante, sino manifiestamente en otro espacio, en tanto de esta intactitud y de su fin él es finalmente incapaz de decir en qué, como satisfacción esto puede desembocar.
Tenemos sin embargo ahí sensible, algo que plantea para nosotros la cuestión de la estructura del deseo de la manera más cotidiana.
Volvamos a nuestro toro, y escribamos ahí nuestros círculos de Euler. Esto va a requerir hacer -me excuso- un pequeño rodeo que no es, a pesar de lo que pudiera parecerle a cualquiera que entrara actualmente por primera vez en mi seminario, un rodeo geométrico -lo será quizás hacia el fin pero muy incidentalmente- que es, hablando con propiedad, topológico. No ninguna necesidad de que ese toro sea un toro regular ni un toro sobre el cual podamos tomar medidas, es una superficie constituida según ciertas relaciones fundamentales que voy a ser llevado a recordarles, pero como no quiero parecer ir demasiado lejos de lo que es el campo de nuestro interés, voy a limitarme a las cosas que ya he esbozado, y que son muy simples.
Se los he hecho observar: sobre tal superficie podemos describir ese tipo de círculo que es el que les he ya connotado como reductible, el que está representado por una pequeña cuerda que pasa finalmente por un bucle, -puedo, tirando la cuerda, reducirla a un punto, dicho de otro modo, a cero. Les he hecho observar que hay otras dos especies de círculos o lazos cualquiera sea su extensión, pues podría también, por ejemplo, tener esta forma.
Esto quiere decir un círculo que atraviesa el agujero cualquiera sea su forma más o menos cerrada, más o menos laxa. Es eso lo que lo define: atraviesa el agujero, pasa del otro lado del agujero. Está aquí representado en trazo pleno, en tanto que ahí está representado en puntillado. Es esto lo que simboliza ese circulo no es reductible, lo quiere decir que si ustedes lo suponen realizado por una cuerda que pasa siempre por ese pequeño arco que nos servirá para cerrarlo, no podemos reducirlo a algo puntiforme, permanecerá siempre, sea cual fuere su circunferencia, en el centro la circunferencia de lo que podemos llamar ahí el espesor del toro.
Ese círculo irreductible desde el punto de vista que nos interesaba hace un rato, a saber la definición de un interior y un exterior, si muestra por un lado una resistencia particular, algo que en relación a los otros círculos le confiere una dignidad eminente, sobre este otro punto he aquí de repente que va a aparecer singularmente desprovisto (déchu) de las propiedades del precedente; pues si, ese circulo del que les hablo, ustedes lo materializan por ejemplo por un corte con unas tijeras, ¿qué obtendrán? En absoluto como en el otro caso un pequeño pedazo que se va y luego el resto del toro. El toro quedará intacto bajo la forma de un tubo o de una manga si ustedes quieren.
Si ustedes toman otro tipo de circulo, aquel del que les he ya hablado, que no es el que atraviesa el agujero sino el que lo rodea,. éste se encuentra en la misma situación que el precedente en cuanto a su irreductibilidad. Se encuentra igualmente en la misma situación que el precedente en lo concerniente al hecho de que no basta definir un interior ni un exterior.
Dicho de otro modo, que si ustedes lo siguen, a ese círculo, y abren el toro con la ayuda de tijeras, obtendrán finalmente ¿qué? Y bien, lo mismo que en el caso precedente: eso tiene la forma de un toro pero es una forma que no presenta una diferencia más que intuitiva, que es entera y esencialmente lo mismo desde el punto de vista de la estructura. Ustedes obtienen siempre luego de esta operación, Como en el primer caso una manga, simplemente es una manga muy corta y muy ancha, ustedes obtienen un cinturón si quieren, pero no hay diferencia esencial entre un cinturón y una manga desde el punto de vista topológico llamen a eso una banda también si quieren.
Estamos entonces en presencia de dos tipos de círculos que desde ese punto de vista por otra parte no hacen sino uno que no definen un interior y un exterior. Les hago observar incidentalmente que, si ustedes cortan el toro sucesivamente siguiendo el uno y el otro, no llegan aún sin embargo a hacer aquello de lo que se trata y que obtienen por lo tanto enseguida con el otro tipo de círculo. El primero que les he dibujado, a saber, dos pedazos.
Por el contrario el toro, no sólo queda entero pero era, la primer vez que les hablé de esto, una puesta en plano lo que resulta y que les, permite simbolizar eventualmente de una manera particularmente cómoda al toro como un rectángulo que ustedes pueden estirándolo un poco, exhibir como un cuero (peau) estacado en los cuatro extremos, definir las propiedades de correspondencia de esos bordes uno al otro, de correspondencia también de sus vértices, reuniéndose los cuatro vértices en un punto y tener así, de una manera mucho más accesible a las facultades de intuición ordinarias, un medio de estudiar lo que ocurre geométricamente sobre el toro, es decir habrá uno de esos tipos de círculo que se representara por una línea como ésta:
otro tipo de círculo por líneas como aquella representando dos puntos planteados, definidos de manera previa como equivalentes en lo que se llama los bordes de la superficie extendida puesta en plano, si se puede decir, en tanto seguramente no se trata de una verdadera puesta puede decir, siendo la puesta en plano como tal imposible en tanto no se trata de una superficie geométricamente identificable a una superficie plana, lo repito, puramente métricamente, no topológicamente. ¿A dónde nos conduce esto?
El hecho de que dos secciónes de esta especie sean posibles con, por otra parte, necesidad de reagruparse la una a la otra sin fragmentar de ningún modo la superficie, dejándola entera, dejándola de una sólo pieza (lambeau), si puedo decir,. basta para definir un cierto género de superficie. Todas las superficies están lejos de tener un género; si ustedes en particular hacen una tal sección sobre la esfera, no obtendrán nunca sino dos pedazos, sea cual fuere el círculo. ¿Esto para ir dónde?
No hagamos una sola sección sino dos secciónes sobre la base del toro. ¿Qué vemos aparecer? Vemos aparecer algo que seguramente va a sorprendernos enseguida, a saber, que si los dos círculos se reagrupan, el campo llamado de la diferencia simétrica existe muy bien. ¿Podemos decir por tanto que existe el campo de la intersección? Pienso que esta figura, tal como está construida, es suficientemente accesible a vuestra intuición como para que comprendan bien enseguida e inmediatamente que no hay nada de esto:
A saber que lo que sería intersección pero que no lo es y que, digo para el ojo -pues por supuesto ni por un instante es cuestión de que esta intersección exista- pero para el ojo es tal como se los he presentado así sobre está figura tal como esta dibujada, -se encontraría tal vez en alguna parte ahí (ver esquema) de ese campo perfectamente continuo de un sólo bloque, de una sola pieza (lambeau) con ese campo que podría analógicamente, de la manera más grosera, por una intuición justamente habituada a fundarse en las cosas que ocurren solamente sobre el plano, corresponder a ese campo externo donde podríamos definir, en relación a dos círculos de Euler recortándose, el campo de su negación, a saber, si ahí tenemos el círculo A y ahí el círculo B, aquí tenemos A’ negación de A y tenemos ahí B’ negación de B y hay que formular algo que concierne a su intersección a esos campos exteriores eventuales.
Ahí vemos ilustrado de la manera más simple por la estructura del toro que algo es posible, algo que puede articularse así: dos campos recortándose, pudiendo como tales definir su diferencia como diferencia simétrica pero que no son menos dos campos de los que se puede decir que no pueden reunirse y que no pueden tampoco recubrirse en otros términos que no pueden ni servir a una función de «o…o…», de reunión, ni servir a una función de multiplicación (intersección) por sí mismo. No pueden literalmente retomarse a la segunda potencia, no pueden reflejar el uno por el otro y el uno en el otro; no tienen intersección, su intersección es exclusión de sí mismos. El campo donde se alcanzarla la. intersección es el campo donde se sale de lo que les concierne, donde se está el no-campo. Esto es tanto interesan como que a la representación esos dos círculos nosotros podemos sustituirle nuestro ocho interior, nuestro ocho invertido.
Nos encontramos así ante una forma que para nosotros es aún más sugestiva. Intentemos recordar eso a lo cual pienso comparar enseguida esos círculos que dan la vuelta del agujero del toro: a algo les dije, que tiene relación con el objeto metonímico, con el objeto de deseo en tanto tal.
¿Qué es lo que ese ocho invertido?, ¿ese círculo que se retoma a sí mismo en el interior de sí mismo?, ¿qué es si no un círculo qué limita se redobla y se retoma?, que permite simbolizar -en tanto se trate de evidencia intuitiva y de que los círculos de Euler nos parecen particularmente convenientes para una cierta simbolización del limite que permite simbolizar este límite en tanto se retoma a sí mismo, se identifican a sí mismos. Reduzcan cada vez más la distancia que separa el primer bucle, digamos, del segundo, y tendrán el círculo en tanto se aprehende a sí mismo. ¿Hay acaso para nosotros objetos de esta naturaleza saber, que subsistan únicamente en esta aprehensión de su autodiferencia? Pues de dos cosas una: o la aprehenden o no la aprehenden. Pero hay algo en todo caso, que todo lo que ocurre en ese nivel de la toma (saisie-aprehensión) implica y necesita, es que algo excluye toda reflexión de este objeto sobre sí mismo. Quiero decir que supongan que sea el a de lo que se trata, – como se los he ya indicado era eso para lo cual esos círculos iban a servirnos- y esto quiere decir que a² , el campo así definido es el mismo campo que ese que está ahí, es decir no-a o -a.
Supongan por el momento, no he dicho que estuviera demostrado, les digo que les proveo hoy un modelo, un soporte intuitivo de algo que es precisamente aquello de lo que tenemos necesidad en lo concerniente a la constitución del deseo. Quizás les parecerá más accesible, más inmediatamente a vuestro alcance hacer de esto el símbolo de la autodiferencia del deseo a sí mismo y el hecho de que es precisamente en su reconocimiento sobre sí mismo que vemos aparecer que lo que él encierra se sustrae y huye hacia lo que lo rodea. Ustedes dirán: deténgase, suspenda aquí, pues no es realmente el deseo lo que intento simbolizar por el doble bucle de ese ocho interior sino algo que conviene mucho mejor a la conjunción del a, del objeto de deseo como tal consigo mismo
Para que el deseo sea efectivamente inteligentemente soportado en esta referencia intuitiva a la superficie del toro, conviene hacer entrar ahí la dimensión de la demanda. Esta dimensión de la demanda, les he dicho por otra parte que los círculos que encierran el espesor del toro como tal podían servir muy inteligiblemente para representarla y que algo, por otra parte que es en parte contingente quiero decir ligado a una apercepción exterior, visual, ella misma demasiado marcada por la intuición común como para no ser refutable, lo verán, pero en fin tal como ustedes están forzados a representar el toro, a saber, algo como este anillo, ven fácilmente cuan cómodamente lo que ocurre en la sucesión de esos círculos capaces de seguir de alguna manera en hélice y según una repetición que es la del hilo alrededor de la bobina, cuán fácilmente la demanda en su repetición, su identidad y su distinción necesarias, su desarrollo y su retorno sobre si misma, es algo que se encuentra fácilmente soportado por la estructura del toro.
No está ahí lo que espero hoy repetir una vez más. Por otra parte si no hiciera más que repetirlo ah! sería absolutamente insuficiente; es por el contrario algo sobre lo cual quiero atraer vuestra atención, a saber, ese círculo privilegiado que está constituido por esto que es no solamente un círculo que da la vuelta (rodea) el agujero central, sino que es también un círculo que lo atraviesa. En otros términos, que está constituído por una propiedad topológica que confunde, adiciona, el bucle constituido en torno del espesor del toro con el que se haría de una vuelta hecha por ejemplo al rededor del agujero interior.
Esta suerte de bucle es para nosotros de un interés absolutamente privilegiado; pues es el que nos permitirá soportar, imaginar como estructurales las relaciones de la demanda y el deseo. Veamos en efecto que puede producirse respecto de tales bucles: observen que puede haber ahí as! constituidos, que otro que les es vecino se complete, vuelva sobre sí mismo, sin cortar del todo el primero (ver esquema II). Ustedes lo ven, dado lo que ahí he intentado articular, dibujar, a saber la manera con la que eso pasa del otro lado de este objeto que suponemos masivo porque es como eso que ustedes lo intuicionan tan fácilmente y que evidentemente no lo es, la línea del círculo 1 pasa ahí, la otra (3) pasa un poco más lejos. No hay ninguna especie de intersección de esos dos círculos.
He ahí dos demandas que implicando el círculo central con lo que él simboliza -en la ocasión el objeto, y en qué medida es efectivamente integrado a la demanda es lo que nuestros desarrollos ulteriores nos permitirán articular- esas dos demandas no comportan ninguna especie de recorte, ninguna especie de intersección e incluso ninguna especie de diferencia articulable entre ellas, aún cuando tengan el mismo objeto incluido en su perímetro.
Por el contrario hay otro tipo de circuito, éste que ahí pasa efectivamente del otro lado del toro, pero que lejos de reunirse consigo mismo en el punto de donde ha partido inicia aquí otra curva para venir una segunda vez a pasar ahí y volver a su punto de partida.
Pienso que ustedes han aprehendido de lo que se trata; se trata de nada menos que de algo absolutamente equivalente a la famosa curva del ocho invertido del que les hablaba hace un rato. Aquí los dos bucles representan la reiteración, la reduplicación de la demanda y comportan entonces ese campo de diferencia a sí mismo, de autodiferencia que es aquél sobre el cual hemos puesto el acento, es decir que aquí encontramos el medio de simbolizar de una manera sensible, a nivel mismo de la demanda, una condición para que ella sugiera, en toda su ambigüedad, y de una manera estrictamente análoga a la manera con que ella es sugerida rica en la reduplicación misma del objeto del deseo sobre sí mismo, la dimensión central constituida por el vacío del deseo.
Todo esto no se los aporto sino como una suerte de proposición de ejercicios, de ejercicios mentales, de ejercicios con los cuales ustedes deben familiarizarse si quieren encontrar a continuación en el toro el valor metafórico que le daré cuando vaya en cada caso, se trate del obsesivo, del histérico, del perverso, hasta incluso del esquizofrénico a articular la relación del deseo y la demanda. Es por lo que es bajo otros términos, bajo la forma del toro desplegado puesto en plano que voy a intentar señalarles a qué corresponden los diversos casos que he evocado hasta aquí a saber los dos primeros círculos por ejemplo que eran círculos que hacían el agujero central y que se recortaban constituyendo para hablar con propiedad, la misma figura de diferencia simétrica de los círculos de Euler. 
Vean lo que eso da sobre el toro extendido, ciertamente de esta manera figurada más satisfactoria que lo que ustedes veían hace un momento dado que ustedes pueden palpar el hecho de que no hay simetría digamos entre los cuatro campos, dos por dos, tal como están definidos por el recorte (recoupement) de los dos círculos.
Ustedes hubieran podido decirse, y ciertamente no de una manera que fuera signo de poca atención, que de dibujar las cosas así 
y al dar un valor privilegiado a lo que llamo aquí diferencia simétrica, no hago ahí sino algo bastante arbitrario en tanto los otros dos campos de los que les he hecho observar se confunden, ocupaban quizás en relación a esos dos un lugar simétrico. Ustedes ven aquí que no hay nada de eso a saber que los campos definidos por esos dos sectores, de cualquier manera que ustedes los conecten -y podrían hacerlo no son de ninguna manera identificables al primer campo.
La otra figura a saber la del ocho invertido se presenta así: 
La no simetría de los dos campos es aún más evidente. Los dos círculos que he dibujado sucesivamente sobre el recorrido del toro como definiendo dos círculos de la demanda en tanto no se recortan ténganlos así simbólizados. Hay uno que podemos identificar puramente -hablo de los dos círculos de la demanda tal como acabo de definirlos en tanto incluían además el agujero central- uno puede fácilmente definirse, situarse, sobre el toro extendido como una oblicua uniendo en diagonal un vértice al mismo punto que está realmente en el borde opuesto; al vértice opuesto de su posición AB. El segundo bucle que había dibujado se simbolizaría así: comenzando en un punto aquí cualquiera tenemos ahí A’, ahí C,un punto C que es el mismo que ese punto -C’ y terminando en B: A ‘ C ‘C B
No hay ninguna posibilidad de distinguir el campo que está en A A’ . No tiene ningún privilegio en relación a este campo que está en AC’B’B. No es lo mismo si es por el contrario el ocho interior el que simbolizamos, pues entonces se presenta así:
Aquí tienen uno de esos campos: está definido por las partes sombreadas. No es manifiestamente simétrica con lo que queda del otro campo, de cualquier modo con que se esfuercen en recomponerlo. Es evidente que pueden recomponerlo de la manera siguiente, que este elemento -pongamos x- viniendo aquí éste viniendo aquí y esa ahí, ustedes tienen la forma definida por la autodiferencia dibujada por el ocho interior.
Esto cuya utilización veremos a continuación puede parecer un poco fastidioso, aún superfluo, en el momento mismo en que intento articularlo para ustedes. Sin embargo quisiera señalarles para qué sirve todo el acento que pongo en la definición de esos campos está destinado a marcarles en qué son utilizables esos campos de la diferencia simétrica y de lo que llamo la autodiferencia, en qué son utilizables para un cierto fin y en qué se sostienen como existiendo en relación a otro campo que ellos excluyen.
En otros términos establecer su función disimétrica, si me tomo el trabajo es que hay una razón la razón es ésta es que el toro, tal como está estructurado pura y simplemente como superficie, es muy difícil de simbolizar lo que llamaré su disimetría de una manera válida. En otros términos, cuando ustedes lo ven extendido bajo la forma de este rectángulo se tratará, para reconstruir el toro de que ustedes conciban primero que lo doble y haga un tubo cerrado, segundo que lleve un extremo del tubo sobre el otro y haga un tubo cerrado, no es menos cierto que lo que hago en un sentido hubiera podido hacerlo en el otro.
Como se trata de topología y no de propiedades métricas, la cuestión de la significación de la mayor largura de un lado en relación al otro no tiene ninguna significación. No es esto lo que nos interesa ya que es la función recíproca de esos círculos lo que trato de utilizar.
Ahora, justamente en esta reciprocidad aparecen poder tener funciones estrictamente equivalentes. También esta posibilidad está en la base de lo que de entrada había dejado indicar, aparecer, desde el comienzo para ustedes en la utilización de esta función del toro como de una posibilidad de imagen sensible a su respecto, es que en algunos sujetos, ninguno neuróticos por ejemplo, vemos de alguna manera de un modo sensible la proyección, si me puedo expresar así, de los círculos mismos del deseo en toda la medida en que se trata para ellos, si puedo decir, de salir en las demandas exigidas del Otro. Y es lo que he simbolizado mostrando es esto: es que, si dibuja un toro, pueden simplemente imaginar otro que encierra, si puedo decir, de esta manera al primero; hay que ver que cada uno de esos círculos que son círculos al rededor del agujero, por simple enrulamiento pueden tener; su correspondencia en círculos que pasan a través del agujero del otro toro, que un toro es de alguna manera siempre transformable en todos sus puntos en un toro opuesto.
Lo que se trata entonces de ver es lo que originaliza una de las funciones circulares, la de los círculos plenos por ejemplo en relación a lo que hemos llamado en Otro momento los círculos vacíos. Esta diferencia existe muy evidentemente, se podría simbolizarla por ejemplo, formalizarla indicando con un pequeño signo sobre la superficie del toro extendida en rectángulo, si ustedes quieren, la anterioridad según la cual se harta el repliegue, y si llamamos a ese lado a minúscula, y a éste b minúscula anotar por ejemplo a inferior a b, o inversamente. Sería esa una notación con la cual nadie ha soñado jamás en topología y que tendría algo de absolutamente artificial, pues no se ve porque un toro sería de ninguna manera un objeto que tuviera una dimensión temporal.
A partir de ese momento, es absolutamente difícil de simbolizar de otro modo, aunque se vea bien que hay ahí algo irreductible y que constituye hablando con propiedad toda la virtud ejemplar del objeto teórico
Habría otra manera de intentar abordarlo. Es evidente que es en la medida en que no consideramos al toro sino como una superficie y no tomando sus coordenadas sino de su propia estructura que nos encontramos ante este impasse, pleno para nosotros de consecuencias ya que si evidentemente los círculos de los cuales ustedes ven voy a hacerles servir para fijar la demanda en sus relaciones con otros círculos que tienen relación con el deseo, si son estrictamente reversibles, ¿es que hay allí algo que deseemos tener como modelo? Seguramente no. Se trata por el contrario del privilegio esencial del agujero central y en consecuencia el, estatuto topológico que buscamos como utilizable en nuestro modelo va a encontrarse huyendo y escapándosenos. Es justamente porque nos huye y nos escapa que va a revelarse fecundo para nosotros.
Intentemos otro método para marcar esto de que los matemáticos, los topologistas prescinden perfectamente en la definición, el uso que hacen de esta estructura del toro en topología: ellos mismos en la teoría general de las superficies han puesto en valor la función del toro como elemento irreductible de toda reducción de las superficies a lo que se llama una forma normal. Cuando digo que es un elemento irreductible quiero decir que no se puede reducir el toro a otra cosa. Se pueden imagimar formas de superficies tan complejas como quieran, pero habrá siempre que tener en cuenta la del toro en toda planificación, si puedo expresarme así, en toda triangulación en la teoría de las superficies. El toro no basta, se requieren otros términos, es necesario especialmente la esfera, es necesario eso a lo cual yo no he podido hoy todavía a hacer alusión, introducir la posibilidad de lo que se llama el cross-cap y la posibilidad de agujeros.
Cuando ustedes tienen la esfera, el toro, el cros-cap y el agujero, pueden representar cualquier superficie denominada compacta, dicho de otra manera una superficie se la puede descomponer en trozos (lambeaux). Hay otras superficies que no se las puede descomponer en trozos (lambeaux) pero las dejamos de lado.
Vayamos a nuestro toro y a la posibilidad de su orientación. ¿Podemos hacerlo por relación a la esfera ideal sobre la cual se engancha? Nosotros podemos, siempre, introducir esta esfera, a saber que con una potencia suficiente de aire cualquier toro puede venir a presentarse como un simple puño en la superficie de una esfera que es una parte de sí mismo suficientemente inflada. Es que por intermedio de la esfera vamos a poder, si puedo decir, volver a sumergir el toro en eso que, ustedes lo sienten bien -buscamos por ahora, a saber ese tercer término que nos permite introducir la disimetría de la cual tenemos necesidad entre los dos tipos de círculos.
Esta disimetría por tanto tan evidente, tan intuitivamente sensible, tan irreductible incluso y que es con todo tal que se manifiesta al respecto como siendo algo que observamos siempre en todo desarrollo matemático: la necesidad que eso desamarre, de olvidar algo de entrada, esto cuando ustedes lo encuentran en toda especie de progreso formal, ese algo olvidado y que literalmente se sustrae a nosotros, nos huye en el formalismo, ¿acaso podamos aprehenderlo por ejemplo en la referencia de algo que se llama tubo (tuyau) a la esfera?.
En efecto observen con cuidado lo que ocurre y se nos dice, que toda superficie formalizable puede darnos en la reducción la forma normal. Se nos dice esto conducirá siempre a una esfera, ¿con qué? con toros insertados sobre ésta y que podemos legítimamente simbolizar así. Les paso la teoría, la experiencia prueba que es estrictamente exacto. Además tenemos lo que se llama el cross-cap. Esos cross-cap, renuncio hoy a hablarles de esto hoy, aunque será necesario que les hable de él en tanto nos prestará el mayor servicio. Contémonos de considerar el toro
Podría venirles la idea de que un puño (poignée) como ése, que sería no exterior a la esfera sino interior con un agujero para entrar, es algo irreductible, ineliminable, y que sería de alguna manera necesario distinguir los toros exteriores y los toros interiores.
¿En qué nos interesa esto? Muy precisamente a propósito de una forma mental que es necesaria a toda nuestra intuición del objeto, de nuestro objeto. En efecto, en la perspectiva platónica, aristotélica euleriana de un Unwelt y de un Innenwelt, de una dominancia puesta de entrada sobre la división del exterior y el interior, no ubicaremos acaso todo lo que experimentamos, y en particular en análisis, en la dimensión de lo que llamé el otro día el subterráneo (sous-terrain) a saber el corredor (couloir) que se hunde en la profundidad, dicho de otra manera, al máximo, quiero decir en su forma más desarrollada según esta forma.
Es extremadamente ejemplar hacer sentir a este respecto la no independiencia absoluta de esta forma; pues – se los repito- en tanto uno llega a formas reducidas que son las formas inscriptas vagamente bosquejada en el pizarrón en el dibujo para dar un soporte a lo que digo, es absolutamente imposible de sostener, aún por un instante, en la diferencia, la originalidad eventual del puño (poignée) interior en relación al puño exterior, para emplear los términos técnicos.
Les basta, pienso, tener un poco de imaginación para ver que se trata de algo que materializamos en caucho, basta introducir el dedo aquí (ver esquema) y enganchar (accrocher) del interior el anillo central de este puño tal como está constituido de extraerlo al exterior según exactamente una forma que será ésta, es decir un toro exactamente el mismo, sin ninguna especie de rasgadura ni incluso de inversión, hablando propiamente.
No hay ninguna inversión; lo que era interior, a saber el encaminamiento así del interior del corredor, deviene exterior porque lo ha sido siempre. Si esto les sorprende, puedo aún ilustrarlo de una manera más simple que es exactamente la misma porque no hay ninguna diferencia entre esto y lo que voy a mostrarles ahora y que les he mostrado desde el primer día esperando hacerles sentir de qué se trataba. Supongan que esté en medio de su recorrido, lo que es exactamente la misma cosa desde el punto de vista topológico que el toro sea tomado en la esfera; tienen ahí un pequeño corredor que camina de un agujero a otro agujero. Ahí pienso que les es suficientemente sensible que no es difícil, simplemente haciendo combar un poco lo que pueden tomar por el corredor con el dedo, de hacer aparecer una figura que será aproximadamente ésta: de algo que es ahí un puño y del que los dos agujeros comunican con el interior están aquí en puntillado.
Llegamos entonces a un fracaso más, quiero decir a la imposibilidad, por una referencia a una tercera dimensión aquí representada por la esfera, de simbolizar ese algo que pone el toro, si se puede decir, en su disposición (assiette) respecto de su propia disimetría. Lo que vemos una vez más manifestarse es algo que es introducido por ese simple significante que les he aportado de entrada, del ocho interior, a saber la posibilidad de un campo interior siempre homogéneo al campo exterior.
Esta es una categoría tan esencial, a tal punto esencial de marcar, de imprimir en vuestro espíritu, que he creído deber hoy a riesgo de dejarlos, aún de fatigarlos, insistir durante una sola de nuestras lecciónes. Verán, lo espero, su utilización a continuación.